Question

【題目】如圖（a）所示，兩段間距均為L的長平行金屬導軌，左段表面光滑、與水平面成θ角固定放置，頂端MN之間連接定值電阻R1，右段導軌表面粗糖、水平放置，末端CD之間連接一電源，電動勢為E、內阻為r，兩段導軌中間EF處通過一小段絕緣光滑軌道將它們圓滑連接起來。空間存在以EF為邊界的磁場，左側為勻強磁場，方向垂直導軌平面向下，大小為B1，右側為變化磁場，方向水平向右，大小隨時間變化如圖（b）所示。現將一質量為m、電阻為R2、長為L的金屬棒擱在左側頂端，由靜止釋放，金屬棒到達EF之前已經勻速，接著進入水平軌道，且整個過程中沒有離開導軌。設金屬棒到達邊界EF處t＝0，金屬棒與水平導軌動摩擦因數為μ，重力加速度為g，則：

（1）金屬棒到達EF處的速度大小；

（2）請寫出金屬棒在水平軌道運動時加速度的表達式（右側磁感應強度用B2表示）；

（3）試通過分析，描述金屬棒到達水平軌道后的運動情況。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）金屬棒進入水平軌道后，在階段：回路電流不變, 磁場增大, 安培力增大，彈力減小, 摩擦力減小,棒作加速度逐漸減小的減速運動直至停止不動。若金屬棒時刻速度不為零，在之后，回路電流不變，磁場保持不變，安培力不變，彈力不變，棒做勻減速運動直至停止。這種情況下，整個過程棒先做加速度減小的減速運動，接著做勻減速運動直至最后停止不動。

【解析】

（1）當金屬棒在左段導軌上運動時受重力G、彈力N1、安培力FA1三個力的作用，勻速階段受力平衡，根據平衡方程求解金屬棒到達EF處的速度大小；（2）金屬棒進入水平軌道，受摩擦力作用開始減速運動，分析受力情況，結合牛頓第二定律求解加速度的表達式；（3）通過分析安培力、彈力的變化情況分析加速度，從而分析物體的運動情況.

（1）當金屬棒在左段導軌上運動時受重力G、彈力N1、安培力FA1三個力的作用，如圖；

假設金屬棒到達EF處的速度為v0，金屬棒切割磁感線產生的電動勢：E1=B1L1v0，

金屬棒與電阻R1、導軌構成的回路的感應電流：

金屬棒受到的安培力：FA1=B1I1L

因金屬棒到達EF之前已經勻速，然后保持勻速運動到達EF處，勻速階段受力平衡，則：FA1=mgsinθ

聯立解得

（2）金屬棒進入水平軌道的初始速度為v0，此時金屬棒、導軌、電源構成閉合電路，金屬棒在運動過程中受重力G、安培力FA2、彈力N2和摩擦力f四個力的作用，如圖：

金屬棒進入水平軌道，受摩擦力作用開始減速運動，假設減速過程中的加速度大小為a，此時回路的電流：

金屬棒所受的安培力FA2=B2L2L，

摩擦力f=μN2；

由正交分解法可知：

豎直方向：N2+FA2=mg

水平方向：f=ma

聯立解得

（3）①金屬棒進入水平軌道后，在0-t1階段：回路電流I2不變，磁場B2增大，安培力FA2增大，彈力N2減小，摩擦力f減小，棒做加速度減小的減速運動直至停止不動；

②金屬棒t1時刻速度不為零，在t1之后，回路的電流I2不變，磁場保持不變，安培力FA2不變，彈力N2不變，棒做勻減速運動直至停止；這種情況下整個過程棒先做加速度減小的減速運動，接著做勻減速運動直至左后停止不動；具體分析討論：

①若金屬棒在0-t1階段速度減到零，這個過程中磁場，由 可知金屬棒運動時隨著時間t的增加，加速度a逐漸減小，金屬棒做加速度減小的減速運動，當金屬棒的速度減為零時，磁場繼續增強，安培力增大，彈力減小，因金屬棒始終沒有離開導軌，故其后始終保持靜止狀態；

②若金屬棒在t1時刻的速度不為零，此后磁場保持不變，金屬棒的加速度，a不變，故此后保持勻減速直線運動，當速度為零時，安培力保持不變，彈力不變，導體棒保持靜止狀態；這種情況下整個過程中金屬棒在0-t1階段先做加速度減小的減速運動，t1時刻后再做勻減速直線運動，當速度為零時最后保持靜止狀態.