Question

（10分）如圖所示，AB是傾角為的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點與圓弧相切，圓弧的半徑為R。一個質量為m的物體(可以看作質點)從直軌道上的某處P點由靜止釋放，沿軌道下滑，結果它第一次在圓弧軌道上運動時，恰能運動到與圓心O等高處的C點。已知BO與豎直方向夾角等于直軌道傾角，物體與軌道AB間的動摩擦因數為。求：

（1）物體做往返運動的整個過程中，在AB軌道上通過的總路程；

（2）最終當物體通過圓弧軌道最低點E時，對圓弧軌道的壓力．

Answer 1

解析：

（1）設P離圓心O所處的水平面的高度為h如圖所示。物體每作一次往復運動。在上能上升的最大高度都減小一些，最終當它到達B點時，速度變為零。

考慮物體從P點出發，第一次到達C處時，速度為零，根據動能定理，有

解得   ①

從P點出發，最終到達B點速度為零的全過程，根據動能定理，有

 ②

式子中L總為物體在AB軌道上通過的總路程

將①代入②求得

解上式，可得

第一問，另解：

設P到B的距離為L，考慮從P點出發，第一次到達C時速度為零，根據動能定理有：

解得：

再考慮物體從C出發，最終到達B點速度為零的全過程，根據動能定理，有

式子中L’為物體從C開始滑動后，在AB軌道上通過的總路程

解上式，可得

所以全過程中，物體在AB軌道上通過的總路程為

將①②代入上式求得

（2）最終物體以B（還有B關于OE的對稱點）為最高點在圓弧軌道底部作往返運動。設物體從B運動到E，速度到達，根據機械能守恒定律有：

在E點根據牛頓第二定律，有

聯立以上兩式，解得

所以，物體對圓弧軌道的壓力