Question

【題目】如圖軌道Ⅲ為地球同步衛星軌道，發射同步衛星的過程可以筒化為以下模型：先讓衛星進入一個近地圓軌道Ⅰ（離地高度可忽略不計），經過軌道上點時點火加速，進入橢圓形轉移軌道Ⅱ。該橢圓軌道Ⅱ的近地點為圓軌道Ⅰ上的點，遠地點為同步圓軌道Ⅲ上的點。到達遠地點時再次點火加速，進入同步軌道Ⅲ。已知引力常量為，地球質量為，地球半徑為，飛船質量為，同步軌道距地面高度為。當衛星距離地心的距離為時，地球與衛星組成的系統的引力勢能為（取無窮遠處的引力勢能為零），忽略地球自轉和噴氣后飛船質量的変化，問：

（1）在近地軌道Ⅰ上運行時，飛船的動能是多少？

（2）若飛船在轉移軌道Ⅱ上運動過程中，只有引力做功，引力勢能和動能相互轉化。已知飛船在橢圓軌道Ⅱ上運行中，經過點時的速率為，則經過點時的速率多大？

（3）若在近地圓軌道Ⅰ上運行時，飛船上的發射裝置短暫工作，將小探測器射出，并使它能脫離地球引力范圍（即探測器可以到達離地心無窮遠處），則探測器離開飛船時的速度（相對于地心）至少是多少？（探測器離開地球的過程中只有引力做功，動能轉化為引力勢能）

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）萬有引力提供向心力，求出速度，然后根據動能公式進行求解；

（2）根據能量守恒進行求解即可；

（3）將小探測器射出，并使它能脫離地球引力范圍，動能全部用來克服引力做功轉化為勢能；

（1）在近地軌道（離地高度忽略不計）Ⅰ上運行時，在萬有引力作用下做勻速圓周運動

即：

則飛船的動能為；

（2）飛船在轉移軌道上運動過程中，只有引力做功，引力勢能和動能相互轉化。由能量守恒可知動能的減少量等于勢能的増加量：

若飛船在橢圓軌道上運行，經過點時速率為，則經過點時速率為：

；

（3）若近地圓軌道運行時，飛船上的發射裝置短暫工作，將小探測器射出，并使它能脫離地球引力范圍（即探測器離地心的距離無窮遠），動能全部用來克服引力做功轉化為勢能

即：

則探測器離開飛船時的速度（相對于地心）至少是：。