Question

一輕質細繩一端系一質量為m=0.05kg的小球A，另一端掛在光滑水平軸O上，O到小球的距離為L=0．lm，小球跟水平面接觸，但無相互作用，在球的兩側等距離處分別固定一個光滑的斜面和一個擋板，如圖所示水平距離s=2m，動摩擦因數為μ=0.25．現有一滑塊B，質量也為m=0.05kg，從斜面上高度h=5m處滑下，與小球發生彈性正碰，與擋板碰撞時不損失機械能．  若不計空氣阻力，并將滑塊和小球都視為質點，（g取10m/s²，結果用根號表示），試問：
（1）求滑塊B與小球第一次碰前的速度以及碰后的速度．
（2）求滑塊B與小球第一次碰后瞬間繩子對小球的拉力．
（3）滑塊B與小球碰撞后，小球在豎直平面內做圓周運動，求小球做完整圓周運動的次數．

Answer 1

分析：（1）小球從最高點滑到O點正下方過程，根據能量守恒定律列式；再對碰撞過程利用動量守恒定律列式；聯立方程組求解；
（2）對小球受力分析，受到重力和拉力，合力提供向心力，根據向心力公式和牛頓第二定律列式求解；
（3）滑塊B與小球碰撞后，小球在豎直平面內做圓周運動，轉過一圈后恰好再次與小球碰撞，速度互換，滑塊與擋板碰撞反彈后再次與小球碰撞并互換速度，小球順時針轉動一周后，從右側與滑塊碰撞并交換速度，之后滑塊向左運動并返回到碰撞處，完成一個循環；之后重復這個過程，直到不在碰撞為止；根據能量守恒定律對整個過程列式求解即可得到碰撞次數．

解答：解：（1）滑塊將要與小球發生碰撞時速度為v1，碰撞后速度為v1′，小球速度為v2．
根據能量守恒定律，得
mgh=

1

2

m

v

2 1

+μmg

S

2

解得
v1=

95

m/s
A、B發生彈性碰撞，由動量守恒，得到：mv1=m

v

′ 1

+mv2
由能量守恒定律，得到：

1

2

m

v

2 1

=

1

2

mv

′

2 1

+

1

2

m

v

2 2

解得：v′1=0，v2=

95

m/s
即滑塊B與小球第一次碰前的速度為

95

m/s，碰后的速度為0．
（2）碰后瞬間，有 T-mg=m

v 2 2

L

解得   T=48N
即滑塊B與小球第一次碰后瞬間繩子對小球的拉力48N．
（3）小球剛能完成一次完整的圓周運動，它到最高點的速度為v₀，則有
mg=m

v 2 0

L

小球從最低點到最高點的過程機械能守恒，設小球在最低點速度為v，根據機械能守恒有

1

2

mv2=2mgL+

1

2

m

v

2 0

解得
v=

5

m/s
滑塊和小球最后一次碰撞時速度至少為v=

5

m/s，滑塊通過的路程為S′．根據能量守恒有
mgh=

1

2

mv2+μmgs
解得
s′=19m
小球做完整圓周圓周運動的次數
n=

s′- s 2

s

+1=10次
即小球做完整圓周運動的次數為10次．

點評：本題關鍵要明確物體的運動過程以及知道摩擦產生的熱量為：Q=f?△S，其中△S為總路程，同時要能結合能量守恒定律、牛頓第二定律、向心力公式多次列式．