Question

一輕質(zhì)細(xì)繩一端系一質(zhì)量為m=0.05kg的小球A，另一端掛在光滑水平軸O上，O到小球的距離為L(zhǎng)=0.1m，小球跟水平面接觸，但無相互作用，在球的兩側(cè)等距離處分別固定一個(gè)光滑的斜面和一個(gè)擋板，如圖所示，水平距離s=2m．現(xiàn)有一滑塊B，質(zhì)量也為m，從斜面上滑下，與小球發(fā)生碰撞，每次碰后，滑塊與小球速度均交換，已知滑塊與擋板碰撞時(shí)不損失機(jī)械能，水平面與滑塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.25，若不計(jì)空氣阻力，并將滑塊和小球都視為質(zhì)點(diǎn)，g取10m/s²，試問：
（1）若滑塊B從斜面某一高度h處滑下與小球第一次碰撞后，使小球恰好在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求此高度h；
（2）若滑塊B從h′=5m 處下滑與小球碰撞后，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求小球做完整圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù)．

Answer 1

分析：（1）小球恰好在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，說明此時(shí)只有重力作為向心力，再根據(jù)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的過程中機(jī)械能守恒，列出方程可以求得滑塊的高度；
（2）每次碰撞沒有能量損失，只是在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)克服摩擦力做功，小球的速度也是一次次的減小，最小的時(shí)候應(yīng)該是恰好能做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理可以求得總的路程和碰撞的次數(shù)．

解答：解：
（1）小球剛能完成一次完整的圓周運(yùn)動(dòng)，它到最高點(diǎn)的速度為v₀，在最高點(diǎn)，僅有重力充當(dāng)向心力，則有
  mg=m

V 2 0

L

--------①
在小球從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，并設(shè)小球在最低點(diǎn)速度為v，則又有
  

1

2

mV₁²=mg?2L+

1

2

mV₀²-------------②
 由①②解得：V₁=

5

m/s   
滑塊從h高處運(yùn)動(dòng)到將與小球碰撞時(shí)速度為v₂，對(duì)滑塊由能的轉(zhuǎn)化及守恒定律有mgh=μmg?

s

2

+

1

2

mV₂²，
因彈性碰撞后速度交換V₂=

5

m/s，解上式得 h=0.5m．
（2）若滑塊從h′=5m處下滑到將要與小球碰撞時(shí)速度為u，同理有
  mgh′=μmg?

s

2

+

1

2

mu²-----------------③
解得 u=

95

 m/s，
滑塊與小球碰后的瞬間，同理滑塊靜止，小球以 u=

95

 m/s 的速度開始作圓周運(yùn)動(dòng)，
滑塊和小球最后一次碰撞時(shí)速度至少為V=

5

m/s，
滑塊最后停在水平面上，它通過的路程為 s′，同理有
  mgh′=μmg?s′+

1

2

mV²--------------④
小球做完整圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù)為 n=

s’- s 2

s

+1-------------⑤
解④、⑤得s′=19m，n=10次．
答：（1）高度為0.5m，
    （2）小球做完整圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù)為10次．

點(diǎn)評(píng)：題目中物體的運(yùn)動(dòng)過程好像是挺復(fù)雜，但是每次碰撞只是由于克服摩擦力做功而減小了能量，當(dāng)減到最小時(shí)小球應(yīng)該恰好能做圓周運(yùn)動(dòng)，找到能量損失的原因，利用動(dòng)能定理就可以求出了，本題很好的考查了學(xué)生的分析理解能力，是道好題．