Question

【題目】如圖1所示是游樂場中過山車的實物圖片，圖2是過山車的模型圖．在模型圖中半徑分別為R1=2.0m和R2=8.0m的兩個光滑圓形軌道，固定在傾角為α=37°斜軌道面上的Q、Z兩點，且兩圓形軌道的最高點A、B均與P點平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接．現使小車（視作質點）從P點以一定的初速度沿斜面向下運動．已知斜軌道面與小車間的動摩擦因數為μ= ，g=10m/s2 ， sin37°=0.6，cos37°=0.8．問：

（1）若小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點A處，則其在P點的初速度應為多大？
（2）若小車在P點的初速度為10m/s，則小車能否安全通過兩個圓形軌道？

Answer 1

【答案】
（1）解：

設小車經過A點時的臨界速度為v1，則有

設Q點與P點高度差為h1，PQ間距離為L1，

P到A對小車，由動能定理得：

解得v01=2 m/s

答：若小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點A處，則其在P點的初速度應為2 m/s；

（2）解：Z點與P點高度差為h2，PZ間距離為L2

小車能安全通過兩個圓形軌道的臨界條件是在B點速度為v2且在B點時有：

設P點的初速度為：v02

P點到B點的過程，由動能定理得：

解得：v02= m/s

可知v02= m/s＜10m/s，能安全通過．

答：若小車在P點的初速度為10m/s，則小車能安全通過兩個圓形軌道．

【解析】（1）小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點A處時，由重力提供向心力，根據牛頓第二定律求出小球經過A點的速度．由幾何知識求出P、Q間的距離SPQ，運用動能定理研究小球從P到A的過程，求解P點的初速度．（2）首先根據小車在P點的初速度10m/s，與第一問中v0比較，分析小車能否安全通過圓弧軌道O1．若小車恰能通過B點，由重力提供向心力，由牛頓第二定律列方程，求出小車通過B點的臨界速度，根據動能定理求出小車在P點的臨界速度，再確定小車能否安全通過兩個圓形軌道．
【考點精析】掌握動能定理的綜合應用是解答本題的根本，需要知道應用動能定理只考慮初、末狀態，沒有守恒條件的限制，也不受力的性質和物理過程的變化的影響.所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用時間的動力學問題，都可以用動能定理分析和解答，而且一般都比用牛頓運動定律和機械能守恒定律簡捷．