Question

【題目】“嫦娥一號”在西昌衛星發射中心發射升空，準確進入預定軌道．隨后，“嫦娥一號”經過變軌和制動成功進入環月軌道．如圖所示，陰影部分表示月球，設想飛船在圓形軌道Ⅰ上作勻速圓周運動，在圓軌道Ⅰ上飛行n圈所用時間為t到達A點時經過暫短的點火變速，進入橢圓軌道Ⅱ，在到達軌道Ⅱ近月點B點時再次點火變速，進入近月圓形軌道Ⅲ，而后飛船在軌道Ⅲ上繞月球作勻速圓周運動，在圓軌道Ⅲ上飛行n圈所用時間為．不考慮其它星體對飛船的影響，求：

（1）月球的平均密度是多少？

（2）飛船從軌道Ⅱ上遠月點A運動至近月點B所用的時間．

（3）如果在Ⅰ、Ⅲ軌道上有兩只飛船，它們繞月球飛行方向相同，某時刻兩飛船相距最近（兩飛船在月球球心的同側，且兩飛船與月球球心在同一直線上），則經過多長時間，他們又會相距最近？

Answer 1

【答案】（1）月球的平均密度是．

（2）飛船從軌道Ⅱ上遠月點A運動至近月點B所用的時間為．

（3）則經（m=1，2，3…），他們又會相距最近

【解析】試題分析：（1）在圓軌道Ⅲ上的周期：

T3=…①

由萬有引力提供向心力有：

…②

又：M=…③

聯立得：=…④

（2）設飛船在軌道I上的運動周期為T1，在軌道I有：…⑤

又：…⑥

聯立①②⑤⑥得：r=4R

設飛船在軌道II上的運動周期T2，而軌道II的半長軸為：=2.5R…⑦

根據開普勒定律得：

…⑧

可解得：T2=0.494T3

所以飛船從A到B的飛行時間為：

（3）設飛船在軌道I上的角速度為ω1、在軌道III上的角速度為ω3，有：

所以

設飛飛船再經過t時間相距最近，有：

ω3t′﹣ω1t′=2mπ

所以有：t=（m=1，2，3…）