Question

【題目】如圖所示，固定在豎直平面內的光滑細管道由上、下兩部分組成。上部分ABC為拋物線形，下部分CDA為半圓形，兩部分之間平滑連接。已知拋物線頂點B位于圓心O的正上方，B，O間距為R，水平直徑AC長為2R。現通過一彈射裝置（圖中未畫出）從A點彈射出一質量為m的小球，小球直徑略小于管道內徑，重力加速度為g。

（1）要使小球能完整的運動一周，小球在A點彈射出的最小速度為多大？

（2）在（1）問求得的最小彈射速度條件下，求小球在運動過程中對管道的最大壓力；

（3）有無這樣的彈射速度，使小球從A點彈射出后對拋物線管道無作用力？若無，請說明理由；若有，試求出該速度的大小和方向。

Answer 1

【答案】（1）；（2）5mg；（3），

【解析】

（1）要使小球能夠運動完整的一周，則小球在B點速度要大于0，再根據機械能守恒定律，在A點時的動能等于A到B增加的重力勢能和B點的動能，列出等式即可求出答案。

（2）根據機械能守恒定律，A點的動能等于D點的動能和A到D重力勢能減小量列出與相關等式。分析小球在D點的受力情況，得到合外力組成。再根據向心力公式計算得到小球對管壁壓力大小。

（3）如果小球被彈射出后運動至B點，其軌跡恰好和拋物線管道重合，則小球對拋物線管道無作用力，而此時小球由A→B的逆過程可視為平拋運動。列出在方向位移相關公式再聯立解得答案。

（1）要使小球能完整的運動一周，小球在B點的速度，根據機械能守恒定律有

解得

即小球在A點彈射出的速度至少為。

（2）小球在管道最低點時對管道的壓力最大，根據機械能守恒定律有

根據向心力公式，小球在管道最低點時有

聯立解得

（3）如果小球被彈射出后運動至B點，其軌跡恰好和拋物線管道重合，則小球對拋物線管道無作用力，而此時小球由A→B的逆過程可視為平拋運動。設小球從A點彈射出后速度的大小為，方向與水平方向成角，則有

聯立解得

，

因此力的方向為與水平方向的夾角滿足。