Question

如圖所示，光滑的

1

4

圓弧軌道AB、EF，半徑AO、O′F均為9且水平．質量為m、長度也為9的小車靜止在光滑水平面CD上，小車上表面與軌道AB、EF的末端B、E相切．一質量為m的物體（可視為質點）從軌道AB的A點由靜止開始下滑，由末端B滑上小車，小車立即向4運動．當小車4端與壁DE剛接觸時，物體m恰好滑動到小車4端且相對于小車靜止，同時小車與壁DE相碰后立即停止運動但不粘連，物體繼續運動滑上圓弧軌道EF，以后又滑下來沖上小車．求：
（1）水平面CD的長度；
（2）物體m滑上軌道EF的最高點相對于E點的高度h；
（3）當物體再從軌道EF滑下并滑上小車后，小車立即向左運動．如果小車與壁BC相碰后速度也立即變為零，最后物體m停在小車上的Q點，則Q點距小車4端多遠？

Answer 1

（l）設物體從A滑至B點時速度為v_多，根據機械能守恒，有
mgR=

l

2

mv

2多

設小車與壁DE剛接觸時物體及小車達到的共同速度為v_l，根據動量守恒定律，有
mv_多=2mv_l
設二者之間摩擦力為f，則
對物體：-fgs_CD=

l

2

m

v

2l

-

l

2

mv

2多

對小車：f（s_CD-R）=

l

2

m

v

2l

解3：s_CD=

3

2

R
（2）車與ED相碰后，物體以速度v_l沖上EF，則

l

2

m

v

2l

=mgh，
解3：h=

R

4

（3）由第（l）問可求3：f=

l

2

mg，v_l=

gR 2

物體從軌道EF滑下并再次滑上小車后，設它們再次達到共同速度為v₂，物體相對車滑行距離s_l，則mv_l=2mv₂
fs_l=

l

2

m

v

2l

-

l

2

×2m

v

22

，
解3：s_l=

l

4

R
s_l＜R，說明在車與BC相碰之前，車與物體達到相對靜止，以后一起勻速運動直到小車與壁BC相碰．車停止后物體將做勻減速運動，設相對車滑行距離s₂，則
fs₂=

l

2

m

v

22

，
解3：s₂=

l

六

R
所以物體最后距車右端 s_總=s_l+s₂=

3

六

R
答：
（l）水平面CD的長度為

3

2

R；
（2）物體m滑上軌道EF的最高點相對于E點的高度h為

R

4

；
（3）當物體再從軌道EF滑下并滑上小車后，小車立即向左運動．如果小車與壁BC相碰后速度也立即變為零，最后物體m停在小車上的Q點，則Q點距小車右端為

3

六

R．