Question

【題目】豎直平面內的軌道ABCD由水平滑道AB與光滑的四分之一圓弧滑道CD組成AB恰與圓弧CD在C點相切，軌道放在光滑的水平面上，如圖所示。一個質量為m的小物塊（可視為質點）從軌道的A端以初動能E沖上水平滑道AB，沿著軌道運動，由DC弧滑下后停在水平滑道AB的中點。已知水平滑道AB長為L，軌道ABCD的質量為3m。求：

(1)小物塊在水平滑道上受到摩擦力的大小。

(2)為了保證小物塊不從滑道的D端離開滑道，圓弧滑道的半徑R至少是多大？

(3)若增大小物塊的初動能，使得小物塊沖上軌道后可以達到最大高度是1.5R，試分析小物塊最終能否停在滑道上？

Answer 1

【答案】(1)；（2）；(3)x=

【解析】

（1）小物塊沖上軌道的初速度設為v，最終停在AB的中點，跟軌道有相同的速度，設為V，在這個過程中，系統動量守恒，有 ①

系統的動能損失用于克服摩擦做功，有

②

③

解得摩擦力

（2）若小物塊剛好到達D處，此時它與軌道有共同的速度（與V相等），在此過程中系統總動能減少轉化為內能（克服摩擦做功）和物塊的勢能，同理有

④

解得要使物塊不從D點離開滑道，CD圓弧半徑至少為

（3）設物塊以初動能E′，沖上軌道，可以達到的最大高度是1.5R,物塊從D點離開軌道后，其水平方向的速度總與軌道速度相等，達到最高點后，物塊的速度跟軌道的速度相等（設為V2），同理有

⑤

物塊從最高點落下后仍沿圓弧軌道運動回到水平軌道上沿BA方向運動，假設能沿BA運動x遠，達到與軌道有相同的速度（等于V2），同理有，

⑥

解得

物塊最終停在水平滑道AB上，距B為處。