Question

【題目】如圖，質量為m的A球下面固定一輕質彈簧，用長度為l的輕繩穿過彈簧連接在B球上，彈簧原長遠小于輕繩長度(繩未連接在彈簧上)，B球離地面的高度也為1；手拿A球，A球與B球處于靜止狀態，將A球由靜止釋放，B球與地面每次碰撞時反彈速度前速度的一半，B球第一次觸地反彈后在空中與A球發生碰撞，碰撞后瞬間彈簧被用縮到最短，此時彈簧鎖定。然后A球與B球一起下落，B球第二次觸地反彈后的瞬間，彈簧解除鎖定，同時輕繩斷裂，A球被彈起。整個過程A、B球都保持豎直方向，且A球一直在上，B球在下，所有碰時間均不計。(重力加速度為g，最后結果可以用根號表示)

（1）B球第一次觸地后到B球與A球碰撞的時間；

（2）要求B球與A球碰撞后瞬間彈簧被壓縮到最短時彈簧的勢能達到最大，求B球的質量M滿足的條件和彈簧勢能的最大值Ep；

（3）在B球的質量M滿足(2)問的條件下，求B球第二次觸地反彈后A球被彈起的最大高度。

Answer 1

【答案】（1）（2）M=8m；2mgl（3）12.5l

【解析】

（1）B球第一次觸地時的速度

此時A的速度也為

B球反彈的速度

則兩球第一次相遇時：

解得

（2）兩球相遇時的速度

當彈簧壓縮到最短時，兩球共速，設向上為正方向，由動量守恒定律

當彈簧的彈性勢能最大時，則v=0，解得：

M=8m

此時彈簧的最大彈性勢能：

（3）兩球第一次相遇 時離地面的高度：

則第二次落地的速度

此時兩球反彈速度為

此時解除鎖定后，彈簧的彈性勢能轉化為AB的動能，則由能量關系：

由動量守恒：

解得

A上升的高度：

解得