Question

【題目】一質量為，傾角為的斜面放置在光滑水平面上，另一質量為、半徑為的均勻圓柱體沿斜面無滑動滾下，如圖所示

（1）建立斜面和圓柱體的動力學方程，并指出圓柱體作純滾動的運動學條件

（2）確定此力學系統的守匣量，并給出具體的表達式

（3）求解斜面的加速度，以及圓柱體質心相對于斜面的加速度

Answer 1

【答案】(1) 即,圓柱體作純滾動的條件為 (2) (3) 解得斜面加速度和圓柱體質心的相對加速度分別為,

【解析】

選擇地面為定參考系，動參考系在斜面上，如圖所示．設斜面有向右的加速度，圓柱體質心有相對于斜面的加速度（設其方向沿斜面向下），以圓柱體質心為動點，斜面為動系，由加速度合成定理，而，故有．于是，得到，．

對斜面應用質心運動定理，有

． ①

對圓柱體質點，其運動微分方程為

，

．

考慮到，．于是，有

， ②

． ③

設圓柱體轉動的角加速度為（設為逆時針轉，根據動量矩定理，有

，即． ④

圓柱體作純滾動的條件為． ⑤

（2）設斜面有向右的速度，圓柱體質心相對于斜面有向下的速度，如圖所示，根據速度合成定理，有，而，故有．于是，得到，．

以斜面和圓柱體組成系統，該系統水平方向上不受外力，由系統水平方向上動量守恒，可得

．

兩邊對時間求導，并考慮到，，即得

． ⑥

（3）聯立式①～⑥，解得斜面加速度和圓柱體質心的相對加速度分別為

，