Question

如圖所示，質量為3.0kg的小車以1.0m/s的速度在光滑的水平面上向左運動，車上AD部分是表面粗糙的水平軌道，DC部分是1/4光滑圓弧，整個軌道都是由絕緣材料制成的，小車所在空間內有豎直向上的勻強電場和垂直紙面向里的勻強磁場，電場強度E為40N/C，磁感應強度B為2.0T．現有一質量為1.0kg、帶負電且電荷量為1.0×10^-2C的滑塊以8m/s的水平速度向右沖上小車，當它通過D點時速度為5.0m/s（滑塊可視為質點，g取10m/s²），求：（計算結果保留兩位有效數字）
（1）滑塊從A到D的過程中，小車、滑塊組成的系統損失的機械能；
（2）如果圓弧軌道半徑為1.0m，求滑塊剛過D點時對軌道的壓力；
（3）若滑塊通過D點時，立即撤去磁場，要使滑塊不沖出圓弧軌道，此圓弧的最小半徑．

Answer 1

分析：（1）滑塊從A到D的過程中，小車、滑塊系統水平方向不受外力，水平方向動量守恒，可求出滑塊到達D點時車的速度，系統損失的機械能等于系統動能的減小．
（2）滑塊通過D時受到重力、支持力、電場力和洛倫茲力，合力提供向心力，寫出動力學方程即可求出軌道對滑塊的支持力；然后根據牛頓第三定律說明；
（3）要使滑塊不沖出圓弧軌道，滑塊沿圓弧軌道上升到最大高度時，滑塊與小車具有共同速度v，根據動量守恒定律和能量的轉化與守恒定律求得結果．

解答：解：（1）設滑塊運動到D點時的速度為v₁，小車在此時的速度為v₂′
滑塊從A運動到D的過程中系統動量守恒mv₀+Mv₂=mv₁+Mv₂′
小車的速度為v₂′=0
小車與滑塊組成的系統損失的機械能為△E，△E=

1

2

m

v

2 0

+

1

2

M

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

△E=21J
（2）設滑塊剛過D點時，受到軌道的支持力為N，N-(mg+qE+qv1B)=

m v 2 1

R

得N=35.5N
滑塊對軌道壓力N′=N=35.5N
（3）滑塊沿圓弧軌道上升到最大高度時，滑塊與小車具有共同速度v
由動量守恒定律mv₁=（m+M）v
v=

5

4

m/s
設圓弧軌道的最小半徑為R_min
由能量守恒關系

1

2

m

v

2 1

=

1

2

(m+M)v2+(mg+qE)Rmin
代人數據解得：R_min=0.90m
答：（1）小車、滑塊組成的系統損失的機械能是21J；
（2）滑塊剛過D點時對軌道的壓力35.5N；
（3）若滑塊通過D點時，立即撤去磁場，要使滑塊不沖出圓弧軌道，此圓弧的最小半徑為0.90m．

點評：本題是系統動量守恒和能量守恒的類型，尋找解題規律是關鍵．容易出錯的地方，是不認真分析滑塊運動過程，認為滑塊剛到達D時車的速度就最大．