Question

【題目】如圖所示，足夠長的平直軌道AO和OB底端平滑對接，將它們固定在同一豎直平面內，兩軌道與水平地面間的夾角分別為α（固定不變）和β（可取不同的值），且α＞β，現將可視為質點的一小滑塊從左側軌道的P點由靜止釋放，若小滑塊經過兩軌道的底端連接處的速率沒有變化.已知AO軌道光滑，空氣阻力可以忽略不計.

(1)論證：滑塊在AO軌道下滑時的加速度與滑塊的質量無關；

(2)運用牛頓運動定律和運動學規律，論證:若OB光滑，取不同的β角，滑塊在OB上能到達的最高點總與P等高；

(3)運用牛頓運動定律和運動學規律，建立適當的坐標系，論證:若OB不光滑，滑塊與OB軌道間的動摩擦因數處處相等，取不同的β角，滑塊在OB上能到達的最高點排布在一條直線上.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

小球先在斜面AO上向下做勻加速運動，后沿斜面OB向上做勻減速運動，根據牛頓第二定律和速度時間關系公式、位移時間關系公式可以得出對應的規律.證明最高點構成一條直線需要聯系數學構建一次函數.

(1)對滑塊受力分析，受重力、斜面的支持力，

由牛頓第二定律：

得：，則下滑加速度與滑塊的質量無關.

(2)設OP的豎直高度為H

由勻加速直線運動的速度位移公式

若OB光滑，則滑塊上滑做勻減速直線運動，設上升的最大高度為

則

聯立解得：，

即OB光滑，取不同的β角，滑塊在OB上能到達的最高點總與P等高.

(3)設粗糙斜面的動摩擦因數為，以O點為坐標原點建立豎直向上和水平向右的坐標系，設最高點的水平坐標x，總坐標為y.

由受力結合牛頓第二定律可得，上滑的加速度為

由運動學公式：

聯立解得：

可得最高點的坐標方程為：

由于為一次函數，且為常量，故Q點在同一直線上.