Question

【題目】質量為m的登月器與航天飛機連接在一起，隨航天飛機繞月球做半徑為3R（ R為月球半徑）的圓周運動。當它們運行到軌道的A點時，登月器被彈離, 航天飛機速度變大，登月器速度變小且仍沿原方向運動，隨后登月器沿橢圓登上月球表面的B點，在月球表面逗留一段時間后，經快速起動仍沿原橢圓軌道回到分離點A與航天飛機實現對接。若物體只受月球引力的作用，月球表面的重力加速度用g月表示,已知科學研究表明，天體在橢圓軌道上運行的周期的平方與軌道半長軸的立方成正比。求：

（1）月球的第一宇宙速度是多少?

（2）登月器與航天飛機一起在圓周軌道上繞月球運行的周期是多少？

（3）若登月器被彈射后,航天飛機的橢圓軌道長軸為8R，則為保證登月器能順利返回A點，登月器可以在月球表面逗留的時間是多少？

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）（其中，n=1、2、3、…）

【解析】（1）假設登月器在近地軌道運動則有①

在月球表面的物體所受重力近似等于萬有引力，
即： ②

聯立①②解得。

（2）設登月器和航天飛機在半徑的軌道上運行時的周期為T，
因其繞月球作圓周運動，所以應用牛頓第二定律有： ③
在月球表面的物體所受重力近似等于萬有引力，
即④

聯立③④解得： 。

（3）設登月器在小橢圓軌道運行的周期是，航天飛機在大橢圓軌道運行的周期是
對登月器和航天飛機依據開普勒第三定律分別有： ⑤
⑥
為使登月器仍沿原橢圓軌道回到分離點與航天飛機實現對接，登月器可以在月球表面逗留的時間t應滿足： （其中， ） ⑦
聯立③④⑤⑥得： （其中， ）。