Question

一個質量為M的雪橇靜止在水平雪地上，一條質量為m的愛斯基摩狗站在該雪橇上.狗向雪橇的正后方跳下，隨后又追趕并向前跳上雪橇；其后狗又反復地跳下、追趕并跳上雪橇.狗與雪橇始終沿一條直線運動.若狗跳離雪橇時雪橇的速度為v，則此時狗相對于地面的速度為v+u（其中u為狗相對于雪橇的速度，v+u為代數和，若以雪橇運動的方向為正方向，則v為正值，u為負值）.設狗總以速度v追趕和跳上雪橇，雪橇與雪地間的摩擦忽略不計.已知v的大小為5 m/s，u的大小為4 m/s，M="30" kg，m="10" kg.求：
（1）狗第一次跳上雪橇后兩者的共同速度的大小；
（2）雪橇的最終速度和狗最多能跳上雪橇的次數.
（供使用但不一定用到的對數值：lg2=0.301，lg3=0.477）

Answer 1

（1）2 m/s （2）5.625 m/s

（1）設雪橇運動的方向為正方向，狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度為v₁，根據動量守恒定律，有Mv₁+m(v₁+u)=0
狗第1次跳上雪橇時，雪橇與狗的共同速度為v₁′滿足Mv₁+mv=(M+m)v₁′
可解得  v₁′=
將u="-4" m/s，v="5" m/s，M="30" kg，m="10" kg代入，得v₁′="2" m/s.
（2）設雪橇運動的方向為正方向，狗第i次跳下雪橇后，雪橇的速度為v_i，狗的速度為v_i+u；狗第i次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度為v_i′，由動量守恒定律可得
第一次跳下雪橇：
Mv₁+m(v₁+u)=0
v₁=-="1" m/s
第一次跳上雪橇：
Mv₁+mv=(M+m)v_i′
第二次跳下雪橇：
（M+m）v_i′=Mv₂+m(v₂+u)，v₂′=
第三次跳下雪橇：
(M+m)v₂′=Mv₃+m(v₃+u)，v₃=
第四次跳下雪橇：
（M+m）v₃′=Mv₄+m(v₄+u)
v₄=="5.625" m/s.
此時雪橇的速度已大于狗追趕的速度，狗將不可能追上雪橇.因此狗最多能跳上雪橇3次，雪橇最終的速度大小為5.625 m/s.