Question

【題目】利用彈簧彈射和傳送帶傳動裝置可以將工件運送至高處．如圖所示，已知傳送軌道平面與水平方向成37°角，傾角也是37°的光滑斜面軌道固定于地面且與傳送軌道良好對接，彈簧下端固定在斜面底端，工件與皮帶間的動摩擦因數μ=0.25．傳送帶傳動裝置順時針勻速轉動的速度v=4m/s，兩輪軸心相距L=5m，B、C 分別是傳送帶與兩輪的切點，輪緣與傳送帶之間不打滑．現將質量m=1kg的工件放在彈簧上，用力將彈簧壓縮至A 點后由靜止釋放，工件離開斜面頂端滑到傳送帶上的B點時速度v0=8m/s，AB 間的距離s=1m．工件可視為質點，g 取10m/s2（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：

（1）彈簧的最大彈性勢能；
（2）工件沿傳送帶上滑的時間；
（3）求工件在皮帶上滑動的全過程中所產生的內能是多少．

Answer 1

【答案】
（1）解：滑塊從A到B過程，彈簧的彈性勢能的減小等于滑塊機械能的增加，根據機械能守恒定律，得：

彈簧的最大彈性勢能為：Ep=mgssin37°+ mv02

代入數據解得：EP=38J．

答：彈簧的最大彈性勢能是38J．

（2）解：工件沿傳送軌道減速向上滑動的過程中有：mgsin37°+μmgcos37°=ma1

代入數據解得 a1=8m/s2．

從B點運動到與傳送帶共速需要的時間為：t1= = s=0.5s．

工件滑行的位移大小為：s1= t1= ×0.5m=3m＜L．

因為μ＜tan37°，所以工件將沿傳送帶繼續減速上滑．有：

mgsin37°﹣μmgcos37°=ma2

代入數據解得：a2=4m/s2．

假設工件速度減為零時，工件未從傳送帶上滑落，則有：t2= = s=1s．

工件滑行的位移大小為：s2= t2= ×1=2m=L﹣s1；

故假設成立，工件沿傳送帶上滑的時間為：t=t1+t2=1.5s．

答：工件沿傳送帶上滑的時間為1.5s．

（3）解：工件在皮帶上以加速度a1滑動的過程中皮帶的位移為

x皮1=vt1=4×0.5m=2m

工件與皮帶間的相對位移大小為△x1=s1﹣x皮1=3m﹣2m=1m

工件在皮帶上以加速度a2滑動的過程中皮帶的位移為

x皮2=vt2=4×1m=4m

工件與皮帶間的相對位移大小為△x2=x皮2﹣s2=4m﹣2m=2m

所以全過程中產生的內能是 Q=μmgcos37°（△x1+△x2）

代入數據解得 Q=6J

答：工件在皮帶上滑動的全過程中所產生的內能是6J．

【解析】（1）根據工件離開斜面頂端滑到皮帶上的B點時速度v0=8m/s，A、B間的距離s=lm，通過能量守恒定律求出彈簧的最大彈性勢能．（2）因為μ＜tan37°，當工件速度減為傳送帶速度時，又以不同的加速度向上減速，根據牛頓第二定律求出兩次勻減速直線運動的加速度，然后根據運動學公式求出上滑的總時間．（3）根據運動學公式求出工件與皮帶間的相對滑動的路程，再由滑動摩擦力與相對路程的乘積求產生的內能．
【考點精析】關于本題考查的彈性勢能和功能關系，需要了解彈性勢能是物體由于發生彈性形變而具有的能量；當只有重力（或彈簧彈力）做功時，物體的機械能守恒；重力對物體做的功等于物體重力勢能的減少:W G =E p1 -E p2；合外力對物體所做的功等于物體動能的變化:W 合 =E k2 -E k1 （動能定理）；除了重力（或彈簧彈力）之外的力對物體所做的功等于物體機械能的變化:W F =E 2 -E 1才能得出正確答案．