Question

人類對(duì)宇宙的探索是無止境的．隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人類可以運(yùn)送宇航員到遙遠(yuǎn)的星球去探索宇宙奧秘．假設(shè)宇航員到達(dá)了一個(gè)遙遠(yuǎn)的星球，此星球上沒有任何氣體．此前，宇航員乘坐的飛船繞該星球表面運(yùn)行的周期為T，著陸后宇航員在該星球表面附近從h高處以初速度v₀水平拋出一個(gè)小球，測(cè)出小球的水平射程為L(zhǎng)，已知萬有引力常量為G．求：
（1）該星球的密度；
（2）該星球表面的重力加速度
（3）若在該星球表面發(fā)射一顆衛(wèi)星，那么發(fā)射速度至少為多大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合周期的大小求出星球的質(zhì)量，通過星球的體積求出星球的密度．
（2）根據(jù)水平位移和初速度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合豎直高度，運(yùn)用位移時(shí)間公式求出星球表面的重力加速度．
（3）根據(jù)星球表面的重力加速度，根據(jù)星球表面重力提供向心力求出發(fā)生的速度．

解答：解：（1）在星球表面

GMm

R2

=mR

4π2

T2

又M=ρ?

4

3

πR3
解得 ρ=

3π

GT2

又G

Mm

R2

=mg，解得R=

gT2

4π2

．
（2）設(shè)星球表面的重力加速度為g，小球的質(zhì)量為m，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，
故有 h=

1

2

gt2，L=v₀t
解得g=

2hv02

L2

．
（3）該星球表面處的最小發(fā)射速度即為該星球的第一宇宙速度，設(shè)為為v，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m₁，則在星球表面
G

Mm1

R2

=m1

v2

R

又 G

Mm1

R2

=m1g
則v=

gR

代入（1）問中的R，解得v=

hTv02

πL2

．
答：（1）該星球的密度ρ=

3π

GT2

．
（2）該星球表面的重力加速度為g=

2hv02

L2

．
（3）若在該星球表面發(fā)射一顆衛(wèi)星，那么發(fā)射速度至少為v=

hTv02

πL2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用．