Question

【題目】如圖所示，光滑的水平面AB與半徑R=0.5m的光滑豎直半圓軌道BCD在B點相切，D點為半圓軌道最高點，A點的右側連接一粗糙的水平面，用細線連接甲、乙兩物體，中間夾一輕質壓縮彈簧，彈簧與甲、乙兩物體不拴接，甲的質量m1=4kg，乙的質量m2=5kg，甲、乙均靜止。若燒斷細線，甲離開彈簧后經過B點進入半圓軌道，過D點時對軌道的壓力恰好為零。取g=10m/s2。甲、乙兩物體可看做質點，求：

(1)甲離開彈簧后經過B點時的速度的大小vB；

(2)燒斷細線吋彈簧的彈性勢能EP；

(3)若固定甲，將乙物體換為質量為m的物體丙，燒斷細線，丙物體離開彈簧后從A點進入動摩擦因數μ=0.5的粗糙水平面，AF是長度為4l的水平軌道，F端與半徑為l的光滑半圓軌道FCH相切，半圓的直徑FH豎直，如圖所示.設丙物體離開彈簧時的動能為6mgl，重力加速度大小為g，求丙物體離開圓軌道后落回到水平面BAF上的位置與F點之間的距離s；

(4)在滿足第(3)問的條件下，若丙物體能滑上圓軌道，且能從GH間離開圓軌道滑落（G點為半圓軌道中點)，求丙物體的質量的取值范圍

Answer 1

【答案】(1)5m/s；（2）90J；（3）s=4l； （4）

【解析】

（1）甲在最高點D，由牛頓第二定律，有

甲離開彈簧運動到D點的過程機械能守恒：

聯立解得：vB=5m/s；

（2）燒斷細線時動量守恒：0=m1v3-m2v2

由于水平面AB光滑，則有v1=vB=5m/s，解得：v2=4m/s

根據能量守恒，彈簧的彈性勢能E==90J

（3）甲固定，燒斷細線后乙物體減速運動到F點時的速度大小為vF，

由動能定理得：，解得vF=2

從P點滑到H點時的速度為vH，由機械能守恒定律得

聯立解得vM=2

由于vM=2>，故乙物體能運動到H點，并從H點以速度vH水平射出。設乙物體回到軌道AF所需的時間為t，由運動學公式得：

乙物體回到軌道AF上的位置與B點之間的距離為s=vHt

聯立解得；

（4）設乙物體的質量為M，到達F點的速度大小為vF，

由動能定理得：，解得vF=

為使乙物體能滑上圓軌道，從GH間離開圓軌道，滿足的條件是：

一方面乙物體在圓軌道上的上升高度能超過半圓軌道的中點G，由能量關系有：

另一方面乙物體在圓軌道的不能上升到圓軌道的最高點H，由能量關系有

聯立解得：