Question

（2006?東城區(qū)一模）如圖所示，ABDO是處于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，AB是半徑為R=15m的

1

4

圓周軌道，半徑OA處于水平位置，BDO是直徑為15m的半圓軌道，D為BDO軌道的中央．一個(gè)小球P從A點(diǎn)的正上方距水平半徑OA高H處自由落下，沿豎直平面內(nèi)的軌 道通過(guò)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力等于其重力的

14

3

倍．取g=10m/s²．
（1）H的大小？
（2）試討論此球能否到達(dá)BDO軌道的O點(diǎn)，并說(shuō)明理由．
（3）小球沿軌道運(yùn)動(dòng)后再次落到軌道上的速度的大小是多少？

Answer 1

分析：（1）設(shè)小球通過(guò)D點(diǎn)的速度為v，根據(jù)向心力公式列出方程，小球從P點(diǎn)落下直到沿光滑軌道運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，可解得H的高度；
（2）先求出0點(diǎn)的最小速度，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律得到要到達(dá)0點(diǎn)需要從多高的地方下落，把這個(gè)高度和H進(jìn)行比較即可解題；
（3）先求出小球由H落下通過(guò)O點(diǎn)的速度，小球通過(guò)O點(diǎn)后作平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球經(jīng)時(shí)間t落到AB圓弧軌道上，根據(jù)幾何關(guān)系即可求解．

解答：解：（1）設(shè)小球通過(guò)D點(diǎn)的速度為v，則有：
m

v2

R 2

=F=

14

3

mg
小球從P點(diǎn)落下直到沿光滑軌道運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，有mg（H+

R

2

）=

1

2

mv2
可得高度H=

2

3

R=10m
（2）設(shè)小球能夠沿豎直半圓軌道運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的最小速度為v_c，有m

vC2

R 2

=mg
小球至少應(yīng)從H_c高處落下，mgHC=

1

2

mvC2
解得HC=

R

4

   由H＞H_C，小球可以通過(guò)O點(diǎn)．
（3）小球由H落下通過(guò)O點(diǎn)的速度為v0=

2gH

=14.1m/s
小球通過(guò)O點(diǎn)后作平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球經(jīng)時(shí)間t落到AB圓弧軌道上，有
x=v₀t
y=

1

2

gt2      
且x²+y²=R²
可解得時(shí)間t=1s  （另解舍棄）  
落到軌道上速度的大小v=

v02+g2t2

=17.3m/s

點(diǎn)評(píng)：整個(gè)過(guò)程中物體的機(jī)械能守恒，離開(kāi)O點(diǎn)小球做平拋運(yùn)動(dòng)，直到落到軌道上，知道物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)物體的不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，采用相應(yīng)的物理規(guī)律求解即可．