Question

如圖所示，V形細桿AOB能繞其對稱軸OO′轉到，OO′沿豎直方向，V形桿的兩臂與轉軸間的夾角均為α=45°．兩質量均為m=0.1kg的小環，分別套在V形桿的兩臂上，并用長為l=1.2m、能承受最大拉力F_max=4.5N的輕質細線連結，環與臂間的最大靜摩擦力等于兩者間彈力的0.2倍．當桿以角速度ω轉到時，細線始終處于水平狀態，取g=10m/s²．
（1）求桿轉動角速度ω的最小值；
（2）將桿的角速度從（1）問中求得的最小值開始緩慢增大，直到細線斷裂，寫出此過程中細線拉力隨角速度變化的函數關系式；
（3）求第（2）問過程中桿對每個環所做的功．

Answer 1

（1）∵角速度最小時，f_max沿桿向上，則
F_Nsin45°+f_maxcos45°=mg，
FNcos45°-fmaxsin45°=mrω12，
且f_max=0.2F_N，r=

l

2

，
代入數據解得ω₁=

10

3

≈3.33rad/s
（2）當f_max沿桿向下時，有
F_Nsin45°=f_maxcos45°+mg，
F_Ncos45°+f_maxsin45°=mrω22，
代入數據解得ω₂=5rad/s
當細線拉力剛達到最大時，有
F_Nsin45°=f_maxcos45°+mg，
F_Ncos45°+f_maxsin45°+F_max=mrω32，
∴ω₃=10rad/s
則F_拉=

0( 10 3 rad/s≤ω≤5rad/s) 0.06ω2-1.5(5rad/s≤ω≤10rad/s)

．
（3）根據動能定理，有
W=

1

2

m(ω3r)2-

1

2

m(ω1r)2
代入數據解得W=1.6J．
答：（1）桿轉動角速度ω的最小值為3.33rad/s；
（2）此過程中細線拉力隨角速度變化的函數關系式F_拉=

0( 10 3 rad/s≤ω≤5rad/s) 0.06ω2-1.5(5rad/s≤ω≤10rad/s)

．；
（3）第（2）問過程中桿對每個環所做的功為1.6J．