Question

【題目】如圖所示，有一個用折射率為n＝的透明材料做成的正方體，其底面ABCD為邊長等于2R的正方形，在該正方形ABCD的中心處放置一點光源S，已知真空中光速為c，不考慮光線在界面上多次反射，求：

（1）光自光源S出發到從正方體的四個側面（不包括頂面A′B′C′D′）射出所能經歷的最長時間.

（2）光能從正方體四個側面上射出部分的總面積。

Answer 1

【答案】（1）光自光源S出發到從正方體的四個側面（不包括頂面A′B′C′D′）射出所能經歷的最長時間為 ；

（2）光能從正方體四個側面上射出部分的總面積為＝（6π﹣4﹣12α）R2。

【解析】

（1）光從光源S發出到從四個側面射出經歷的最長時間為恰好在側面發生全反射的情形，

設此時入射角為θ，則有：sinθ＝1/n①

把n＝代入①解得：sinθ＝，即：θ＝60° ②

則經歷最長時間的光在透明材料內經過的路徑長度：L＝2R，

設經歷最長時間的光在介質中的傳播時間為t，則：L＝vt，

其中：v＝c/n

解得： t＝；

（2）考慮光到達任意一個側面并恰好發生全反射的情況，分析可知，在此側面上射出光線部分的區域為半個圓面（其圓心為光源S點在此側面上的投影點S′，半徑為R）與側面的公共部分，即圖中的陰影部分，可算得各相關邊長如圖所示，由幾何知識，可表達一個面上的出射面積為：，

四個側面總的出射面積為：S總＝4S，解得：S總＝（6π﹣4﹣12α）R2，其中：tanα＝；