Question

【題目】某根水平固定的長滑竿上有n(n≥3)個質(zhì)量相同的滑扣(即可以滑動的圓環(huán))，每相鄰的兩個滑扣(極薄)之間有不可伸長的柔軟輕質(zhì)細線相連，細線長度均為L，滑扣在滑竿上滑行的阻力大小恒為滑扣對滑竿正壓力大小的μ倍。開始時所有滑扣可近似地看成挨在一起(但未相互擠壓)；今給第1個滑扣一個初速度使其在滑竿上開始向左滑行(平動)；在滑扣滑行的過程中，前、后滑扣之間的細線拉緊后都以共同的速度向前滑行，但最后一個(即第n個)滑扣固定在滑竿邊緣。已知從第1個滑扣開始的(n一1)個滑扣相互之間都依次拉緊，繼續(xù)滑行距離l(0<l<L)后靜止，且所有細線拉緊過程的時間間隔極短。求：

（1）滑扣1的初速度的大小；

（2）整個過程中克服摩擦力所做的功；

（3）整個過程中僅僅由于細線拉緊引起的總動能損失。

Answer 1

【答案】（1） （2）（3）

【解析】

（1）為普遍起見，設兩個物體質(zhì)量分別為m1和m2，初速度分別為v1和0，發(fā)生完全非彈性碰撞后共同速度為v，則碰前的動能

E= ①

由于細繩拉緊前后時間間隔極短，可以忽略摩擦阻力，故前后動量守恒，有

m1v1=(m1+m2)v ②

碰后的動能之和(即系統(tǒng)剩余動能)為

E′= ③

由①②③式得

E′= ④

此式為后續(xù)計算的通式，后續(xù)計算特別簡單，因為質(zhì)量相等

損失的動能為

ΔE=E－E′=

設第1個滑扣以速度v10開始運動

E0= ⑤

在第1個滑扣滑動距離L、第1與第2個滑扣之間的細繩剛拉緊前的瞬間，系統(tǒng)剩余動能為

E1f=E0－μmgL ⑥

在第1個滑扣與第2個滑扣之間的細繩剛拉緊后的瞬前，系統(tǒng)剩余動能為(根據(jù)④式)

E20== ⑦

在第1、2個滑扣共同滑動距離L、第2與第3個滑扣之間的細繩剛拉緊前的瞬間，系統(tǒng)剩余動能為

E2f=E20－2μmgL== ⑧

在第2個滑扣與第3個滑扣之間的細繩剛拉緊后的瞬前，系統(tǒng)剩余動能為(根據(jù)④式)

E30== ⑨

在第1、2、3個滑扣共同滑動距離L、第3與第4個滑扣之間的細繩剛拉緊前的瞬間，系統(tǒng)剩余動能為 E3f=E30－3μmgL=－3μmgL= ⑩

……

依次類推，在第k個與第k+1個滑扣之間的細繩剛拉緊前的瞬間，系統(tǒng)剩余動能為

Ekf==

= 1≤k≤n－2

于是，在第(n－2)個與第(n－1)個滑扣之間的細繩剛拉緊前的瞬間，系統(tǒng)剩余動能為

E(n－2)f = ⑾

在第(n－2)個與第(n－1)個滑扣之間的細繩剛拉緊后的瞬間，系統(tǒng)剩余動能為

E(n－1)0= = ⑿

(可類比⑦、⑨，并代入⑾得到)

由⑾知，E(n－2)f >0

>0

E(n－1)f <0

<0，

得

<E0<

本式題目中沒有要求的，相當于給出了待求量的定義域

則從第1個滑扣開始的(n－1)個滑扣都依次拉緊，且可繼續(xù)滑行距離l(0<l<L)后靜止。因而有

E(n－1)0= =(n－1) μmgl (因為要繼續(xù)滑行距離l) ⒀

由⑤⒀得滑扣1的初速度的大小

v10

（2）整個過程中克服摩擦力所做的功為

W=μmgL+μ(2m)gL+μ(3m)gL+……+μ[(n－2)m]gL+μ[(n－1)m]gl=

（3）在整個過程中僅僅由于細線拉緊引起的總能量損失為