Question

【題目】某電視節目中演示了一個用三根火柴棍和細棉線懸掛起一瓶或多瓶礦泉水的實驗，如圖所示。A、B、C為三根相同的火柴棍，火柴棍長為l，細實線為棉線，棉線的直徑為d(d<<l)。火柴棍A的一半在水平桌面內，另一半在桌面外，火柴棍A與桌面上表面的邊沿垂直；桌面厚度為h；O是火柴棍A的中點與桌面邊沿的接觸點；棉線緊貼桌沿繞過A，壓在水平火柴棍C的兩端；火柴棍B的一端頂在火柴棍A的球狀頭部(可近似忽略球狀頭部的尺度)，另一端頂在火柴棍C的中點。這樣的結構可以穩定地懸掛起一瓶或多瓶礦泉水。已知火柴棍與桌沿、火柴棍與棉線以及火柴棍之間都足夠粗糙(即可以沒有滑動)，而且它們的質量與重物相比均可忽略。

（1）如果沒有火柴棍B和C，光靠A是否可能懸掛起一瓶礦泉水?為什么?

（2）加上火柴棍B和C、小心掛上重物時，火柴棍A會在過A的豎直平面內繞O點有一個角位移，通過火柴棍B的帶動，壓在火柴棍C兩端的棉線將繞桌面下表面的邊沿轉動一個很小的角度；只要角度大小合適，可使整個系統達到穩定平衡。求平衡時該角度的大小。

Answer 1

【答案】（1）不能，從力的平衡看，單一的火柴棍A無法提供向上的力與一瓶礦泉水的重力平衡；從力矩的平衡看，重物相對于支撐點O有一力矩，此力矩沒有其它力矩與其平衡，會使火柴棍轉動直至掉；（2）

【解析】

（1）不能。從力的平衡看，單一的火柴棍A無法提供向上的力與一瓶礦泉水的重力平衡；從力矩的平衡看，重物相對于支撐點O有一力矩，此力矩沒有其它力矩與其平衡，會使火柴棍轉動直至掉下。

（2）由于火柴棍A水平，火柴棍B的下端正好在A的中點的正下方，由幾何關系知，火柴棍A和B之間的夾角為=60°，桌面上表面邊沿O點到火柴棍B的下端(即火柴棍C的中點)的距離為L=l，又由于火柴棍C水平，由幾何關系知，從O點到火柴棍C兩端的距離均為l，如圖(a)所示。據題意，三根火柴的結構在重物質量逐漸增大時是穩定的。因而火柴棍C繼續保持水平，火柴棍B和A之間的夾角也能得以保持不變，即圖(b)中，火柴棍A和B之間的夾角仍然為60°。

瓶最終穩態應該在何處？應該在O點正下方！又因為棉線是有一定的線度，直徑為d。一開始瓶的縱向幾何中心與棉線的縱向幾何一直線，最終瓶的縱向幾何中心在O點的正下方。所以：①瓶向左平移的距離為；②瓶最終的轉動中心在桌子下邊沿，O點正下方的D點。如圖(c)，D′是棉線縱向軸線的位置，是瓶縱向中心的原位置。D是瓶的縱向中心的新位置。所以瓶轉過的角度∠DED′=θ，DD′=，且因為是微小的轉動，故由微量處理知

OO ′=DD′=

同理

O′D′=OD=h

D′E=DE=L－h=

故

sinθ=

平衡時該角度的大小

θ=arcsin