Question

（理）已知ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分別是AC、AD上的動點，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ（0＜λ＜1）．
（1）求證不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；
（2）若平面BEF與平面BCD所成的二面角的大小為60°，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，我們易得到CD⊥平面ABC，又由E、F分別是AC、AD上的動點，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ，故EF∥CD即EF⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得到答案．
（2）過點C作CZ∥AB，以C為原點，建立空間直角坐標系C-xyz．分別求出各頂點的坐標，并根據ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，分別求出平面BEF的法向量和平面BCD的法向量，然后根據平面BEF與平面BCD所成的二面角的大小為60°，代入向量夾角公式，構造一個關于λ的方程，解方程即可得到平面BEF與平面BCD所成的二面角的大小為60°時λ的值．

解答：解：（1）∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD，
又在△BCD中，∠BCD=90°，
∴BC⊥CD，又AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，
又在△ACD中E、F分別是AC、AD上的動點，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ，
∴EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，又EF?平面BEF，
∴不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；
（2）過點C作CZ∥AB，∵AB⊥平面BCD，
∴CZ⊥平面BCD，
又在△BCD中，∠BCD=90°，
∴BC⊥CD，
如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系C-xyz．
又在△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，
∴BD=

2

．
又在Rt△ABD中，∠ADB=60°，
∴AB=

6

，
則C（0，0，0），B（1，0，0），A（1，0，

6

），D（0，1，0）．
∵

AE

AC

=

AF

AD

=λ，∴

AE

=λ

AC

，
∵

AC

=（-1，0，-

6

），∴

AE

=λ

AC

=（λ，0，-

6

λ），
又∵

AB

=（0，0，-

6

），∴

BE

=

AE

-

AB

=（-λ，0，

6

（1-λ）），
設

n

=（x，y，z）是平面BEF的法向量，則

n

⊥

BE

，

n

⊥

EF

，
因為EF∥CD，所以

n

⊥

CD

，因為

CD

=（0，1，0），
所以

-λx+ 6 (1-λ)z=0 Y=0

，
令z=λ得x=

6

（1-1λ），y=0，

n

=（

6

（1-1λ），0，λ），
因為

m

=（0，0，1）是平面BCD的法向量，且平面BEF與平面BCD所成的二面角為60°，
∴cos60°=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

=

1-λ

1- 6(1-λ)2+λ2

，
∴λ²-4λ+2=0，
∴λ=2-

2

或λ=2+

2

（不合題意，舍去），
故當平面BEF與平面BCD所成的二面角為60°，時λ=2-

2

．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角，其中在（2）中，構造適當的空間坐標系，然后結合向量法求二面角的方法，構造一個關于λ的方程，是解答本題的關鍵．