Question

（理）已知ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分別是AC、AD上的動點，且==λ（0＜λ＜1）．
（1）求證不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；
（2）若平面BEF與平面BCD所成的二面角的大小為60°，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，我們易得到CD⊥平面ABC，又由E、F分別是AC、AD上的動點，且==λ，故EF∥CD即EF⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得到答案．
（2）過點C作CZ∥AB，以C為原點，建立空間直角坐標系C-xyz．分別求出各頂點的坐標，并根據ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，分別求出平面BEF的法向量和平面BCD的法向量，然后根據平面BEF與平面BCD所成的二面角的大小為60°，代入向量夾角公式，構造一個關于λ的方程，解方程即可得到平面BEF與平面BCD所成的二面角的大小為60°時λ的值．
解答：解：（1）∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD，
又在△BCD中，∠BCD=90°，
∴BC⊥CD，又AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，
又在△ACD中E、F分別是AC、AD上的動點，且==λ，
∴EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，又EF?平面BEF，
∴不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；
（2）過點C作CZ∥AB，∵AB⊥平面BCD，
∴CZ⊥平面BCD，
又在△BCD中，∠BCD=90°，
∴BC⊥CD，
如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系C-xyz．
又在△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，
∴BD=．
又在Rt△ABD中，∠ADB=60°，
∴AB=，
則C（0，0，0），B（1，0，0），A（1，0，），D（0，1，0）．
∵==λ，∴，
∵=（-1，0，-），∴=（λ，0，-λ），
又∵=（0，0，-），∴==（-λ，0，（1-λ）），
設=（x，y，z）是平面BEF的法向量，則，，
因為EF∥CD，所以，因為=（0，1，0），
所以，
令z=λ得x=（1-1λ），y=0，=（（1-1λ），0，λ），
因為=（0，0，1）是平面BCD的法向量，且平面BEF與平面BCD所成的二面角為60°，
∴cos60°===，
∴λ²-4λ+2=0，
∴或（不合題意，舍去），
故當平面BEF與平面BCD所成的二面角為60°，時．
點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角，其中在（2）中，構造適當的空間坐標系，然后結合向量法求二面角的方法，構造一個關于λ的方程，是解答本題的關鍵．