如圖，四邊形
與
均為菱形，設
與
相交于點
，若
，且
.
（1）求證：
；
（2）求二面角
的余弦值.
（1）證明過程詳見解析；（2）余弦值為
.
解析試題分析：本題主要考查線面平行、面面平行、二面角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.第一問，先根據菱形的定義得
，
，再根據線面平行的判定得
，
，再根據面面平行的判定得面
面
，從而證明；第二問，先根據已知條件得建立空間直角坐標系的最基本的條件，即
兩兩垂直，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出平面
和平面
的法向量，利用夾角公式求出夾角并判斷二面角為銳二面角，所以所求余弦值為正值.
試題解析：(1) 證明：因為四邊形與均為菱形，
所以，.
因為
，
，
所以， 2分
又
，
，
，
所以
又
，
所以 4分
(2) 連接
、
,因為四邊形為菱形，且
，所以
為等邊三角形，
因為為中點.所以
，
又因為為中點,且，
所以
又
，所以
.6分
由
兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系
設
，因為四邊形為菱形，
，
則
，
，
，
所以
..8分
所以
設平面
的一個法向量為
，
則有
,所以
，令
，則
因為
，所以平面
的一個法向量為
.10分
因為二面角為銳二面角，設二面角的平面角為
則
所以二面角的余弦值為 ..12分
考點：1.線面平行的判定；2.面面平行的判定；3.空間向量法；4.夾角公式.
高中必刷題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，
是圓柱體
的一條母線，
過底面圓的圓心
，
是圓上不與點
、
重合的任意一點，已知棱
，
，
．
（1）求證：
；
（2）將四面體
繞母線轉動一周，求
的三邊在旋轉過程中所圍成的幾何體的體積．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側棱AA1⊥平面ABC,△ABC為正三角形，且側面AA1C1C是邊長為2的正方形,E是
的中點,F在棱CC1上。
（1）當
CF時，求多面體ABCFA1的體積；
（2）當點F使得A1F+BF最小時，判斷直線AE與A1F是否垂直，并證明的結論。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別是AB，BB1的中點
（Ⅰ）證明：BC1//平面A1CD;
（Ⅱ）設AA1=AC=CB=2，AB=
，求三棱錐C一A1DE的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖是一個直三棱柱被削去一部分后的幾何體的直觀圖與三視圖中的側視圖、俯視圖.在直觀圖中,
是
的中點.又已知側視圖是直角梯形,俯視圖是等腰直角三角形,有關數據如圖所示.
(Ⅰ)求證:EM∥平面ABC;
(Ⅱ)求出該幾何體的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知四棱錐
平面
，底面為直角梯形，
，且
,
.
（1）點
在線段
上運動，且設
，問當
為何值時，
平面
，并證明你的結論；
（2）當面，且
，
求四棱錐
的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，三棱柱ABC—A1B1C1的側棱AA1⊥底面ABC，∠ACB = 90°，E是棱CC1上中點，F是AB中點，AC = 1，BC = 2，AA1 = 4.
（1）求證：CF∥平面AEB1；（2）求三棱錐C－AB1E的體積.
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的底面是正方形，
底面
，
，
，點
、
分別為棱
、
的中點.
平面
；
平面
；
的體積.