【題目】已知函數
（
）
(1)若
是
的極值，求
的值，并求的單調區間。
(2)若
時，
，求實數的取值范圍。
【答案】（1）
，
的單調減區間為
，單調增區間為
.（2）
【解析】
（1）計算
的導函數，結合極值，計算a，結合導函數與原函數單調關系，計算單調區間，即可。（2）法一：計算導函數，構造函數
，結合導函數，得到的單調區間，計算范圍，即可。法二 ：構造函數
，結合導函數，得到原函數單調性，計算
，得到a的范圍，即可。
(1)的定義域是
，
，
由
是的極值得
，得.
時，由
，得
，
列表（列表的功能有兩個：一是檢驗的正確性；二是求單調區間）得
|
|
|
|
| 負 | 0 | 正 |
| 單調遞減 | 極小值 | 單調遞增 |
綜上，，的單調減區間為
，單調增區間為.
(2)法一：因
，
.
記
，
則
，且
，當
，
即
時，
，在
單調遞增，
故
時，
，則
，
則在單調遞增，
，符合。
當
，即
時，則存在
，使得
時，
，
此時，
，在
單調遞減，
時，
，不符。
綜上，實數
的取值范圍是.
法二：時，
，
等價于
，
記
，
則
，
記
，
則
，
故
，
在單調遞減，
由洛必達法則得
，
故，綜上，實數的取值范圍是.
亮點激活精編提優100分大試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某年級組織學生參加了某項學術能力測試,為了解參加測試學生的成績情況,從中隨機抽取20名學生的測試成績作為樣本,規定成績大于或等于80分的為優秀,否則為不優秀.統計結果如圖:
(1)求
的值和樣本的平均數;
(2)從該樣本成績優秀的學生中任選兩名,求這兩名學生的成績至少有一個落在
內的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】部分與整體以某種相似的方式呈現稱為分形.謝爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數學家謝爾賓斯基1915年提出.具體操作是取一個實心三角形，沿三角形的三邊中點連線，將它分成4個小三角形，去掉中間的那一個小三角形后，對其余3個小三角形重復上述過程逐次得到各個圖形，如圖.
現在上述圖(3)中隨機選取一個點，則此點取自陰影部分的概率為_________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某班50位學生周考數學成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區間是：
、
、
、
、
、
.
（1）求圖中的矩形高的值，并估計這50人周考數學的平均成績；
（2）根據直方圖求出這50人成績的眾數和中位數（精確到0.1）；
（3）從成績不低于80分的學生中隨機選取2人，該2人中成績不低于90分的人數記為
，求的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】兩名老師和五名學生站一排拍照.
（1）五名學生必須排在一起共有多少種排法？
（2）兩名老師不能相鄰共有多少種排法？
（3）兩名老師不能排在兩邊共有多少種排法？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系.曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程，曲線的參數方程；
（2）若
分別為曲線，上的動點，求
的最小值，并求取得最小值時，
點的直角坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是放置在桌面的某三棱柱的三視圖，其中網格小正方形邊長為1.若三棱柱表面上的
、
兩點在三視圖中的對應點為
、
，現一只螞蟻要沿該三棱柱的表面（不包括下底面）從爬到，則所有路徑里最短路徑的長度為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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