【題目】如圖，在三棱柱
中，
，
，
為
的中點，點
在平面
內的射影在線段
上.
(1)求證：
；
(2)若
是正三角形，求三棱柱的體積.
【答案】（1）見證明；(2) 
【解析】
（1）分別證明
和
，結合直線與平面垂直判定，即可。（2）法一：計算
，結合
和
，即可。法二 :計算
，結合
，計算體積，即可。法三：結合
，計算結果，即可。
(1)證明：設點
在平面
內的射影為
，
則
，
，且
，因
，所以.
在
中，
，
，
則
，在
中，
，
，
則
，
故
，故.
因
，故
.
(2)法一、
，
由(1)得，故
是三棱錐
的高，
是正三角形，
，
，
，
，
故三棱柱的體積
，故三棱柱
的體積為.
法二、將三棱柱補成四棱柱如圖，因
且高一樣，
故
，
故
，
由(1)得，故是四棱柱
的高，
故
，
故
，故三棱柱的體積為.
法三、在三棱錐
中，由(1)得
，是三棱錐
的高，6分
記
到平面
的距離為
，
由
得
，即
，
為
的中點，故
到平面的距離為
，
.
故三棱柱的體積為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對由
個
、個
和個
排成的行，在其下面重新定義一行（比上面一行少一個字母）.若其頭上的兩個字母不同，則在該位置寫上第三個字母；若其頭上的兩個字母相同，則在該位置寫上該字母.對新得到的行重復上面的操作，直到變為一個字母為止.圖給出了
的一個例子.
求所有的正整數，使得對任意的初始排列，經上述操作后，所得到的三角形的三個頂點上的字母要么全相同，要么兩兩不同.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系中
中，曲線
的參數方程為
為參數， 
）. 以坐標原點為極點， 
軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線
的極坐標方程為
.
（1）設
是曲線
上的一個動點，當
時，求點
到直線
的距離的最大值；
（2）若曲線
上所有的點均在直線
的右下方，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線
的極坐標方程為
.
（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；
（2）設點
，直線與曲線交于不同的兩點
、
，求
的值.
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