Question

【題目】已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線的斜率為，且原點(diǎn)到直線的距離為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若不經(jīng)過點(diǎn)的直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，且與圓相切.試探究的周長(zhǎng)是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由題可知，求得直線的方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式，聯(lián)立求得的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由直線與圓相切，求得，再把直線方程與圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，分別求得，即計(jì)算求得三角形的周長(zhǎng)。

（1）由題可知，，，則，

直線的方程為，即，所以，

解得，，

又，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）因?yàn)橹本�與圓相切，

所以，即.

設(shè)，，

聯(lián)立，得，

所以 ，

，，

所以 .

又，所以.

因?yàn)?/span> ，

同理.

所以，

所以的周長(zhǎng)是，

則的周長(zhǎng)為定值.