Question

【題目】橢圓的左、右焦點分別為，且離心率為，點為橢圓上一動點， 內切圓面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓的左頂點為，過右焦點的直線與橢圓相交于兩點，連接并延長分別交直線于兩點，以為直徑的圓是否恒過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）和．

【解析】試題分析：（1）首先設，然后根據離心率得到與的關系，再根據三角形面積取得最大值時點為短軸端點，由此求得的值，從而求得橢圓方程；（2）首先設出直線的方程，并聯立橢圓方程，然后利用韋達定理結合向量數量積的坐標運算求得定點坐標．

試題解析：（1）已知橢圓的離心率為，不妨設， ，即，其中，

又內切圓面積取最大值時，半徑取最大值為，由，

由為定值，因此也取得最大值，即點為短軸端點，

因此， ，解得，

則橢圓的方程為．

（2）設直線的方程為， ， ，聯立可得

，則， ，

直線的方程為，直線的方程為，

則， ，

假設為直徑的圓是否恒過定點，

則， ，

，

即，

即，

，

即，若為直徑的圓是否恒過定點，即不論為何值時， 恒成立，因此， ， 或，即恒過定點和．