Question

【題目】已知函數.

（1）當時，討論的單調性；

（2）當時，若，證明：當時， 的圖象恒在的圖象上方；

（3）證明： .

Answer 1

【答案】（1）單調增區間為及，減區間為；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）時， ， ，設，求出函數的導數，利用導數性質推導出恒成立，由此能證明的圖象恒在圖象的上方；（3）由，設，求出函數的導數，從而，令，得，從而證明結論成立即可.

試題解析：（1）當時，，則，

令，

故的單調增區間為及，減區間；

（2）當時，，令，

則，

當時，，遞減；當時，，遞增。

故，當時，，即恒成立，

所以的圖象恒在的圖象上方。

（3）由（2）知，即，

令，則，即，