【題目】如圖，四棱錐
中，
，
//
，
，
為正三角形. 若
，且
與底面
所成角的正切值為
.
（1）證明：平面
平面
；
（2）
是線段
上一點，記
（
），是否存在實數
，使二面角
的余弦值為
？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
證法一：先計算出
，結合已知得
，由勾股定理得
，又
，可以證得
平面
，平面
平面
證法二：設
在平面
內的射影為
，連接
，結合已知條件得
，可求得，
，四邊形
是正方形，即可證得垂直關系
，
，
兩兩垂直，以它們所在直線分別為
軸，
軸，
軸，建立空間直角坐標系，求出平面
的法向量，平面
的法向量，繼而求出
的值
（1）證法一：
，且
，
，
又
為正三角形，所以
，
又
，
，所以，
又，
//
，
，
，
所以平面，又因為
平面
，
所以平面平面.
證法二： 設在平面內的射影為，連接,
則即為
在平面內的射影，故
即為
與底面所成的角，因為
,所以
而
，
，所以
，
又為正三角形，所以,所以
由
，，得
，所以
，從而是正方形，
由
，
得：平面，于是平面平面.
（2）由（1）可知，
,,兩兩垂直，以它們所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則
,
,
,
,
,
由
可得
，所以，
,
,
設平面的法向量為
，
則
，即
，令
，得
，
，
所以
，顯然，
是平面的法向量.
設二面角
為
，
則
，
依題意有
，解得
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=
+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．
（1）討論函數h（x）=
的單調性；
（2）如果對任意的s，t∈[
，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球
個.若從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是
.
（1）求的值；
（2）從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為
，第二次取出的小球標號為
.記“
”為事件
，求事件的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線
具有性質：若
、
是雙曲線左、右頂點，
為雙曲線上一點，且在第一象限.記直線
，
的斜率分別為
，
，那么與之積是與點位置無關的定值.
（1）試對橢圓
，類比寫出類似的性質（不改變原有命題的字母次序），并加以證明.
（2）若橢圓
的左焦點
，右準線為
，在（1）的條件下，當
取得最小值時，求
的垂心
到
軸的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的一個焦點與拋物線
的焦點相同，A為橢圓C的右頂點，以A為圓心的圓與直線
相交于P， 
兩點，且
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程和圓A的方程；
（Ⅱ）不過原點的直線
與橢圓C交于M、N兩點，已知OM，直線
，ON的斜率
成等比數列，記以OM、ON為直徑的圓的面積分別為S1、S2，試探究
的值是否為定值，若是，求出此值；若不是，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校舉行演講比賽，10位評委對兩位選手的評分如下：
甲 7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.9
乙7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5
選手的最終得分為去掉一個最低分和一個最高分之后，剩下8個評分的平均數.那么，這兩個選手的最后得分是多少？若直接用10位評委評分的平均數作為選手的得分，兩位選手的排名有變化嗎？你認為哪種評分辦法更好？為什么？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市化工廠三個車間共有工人1 000名，各車間男、女工人數如下表：
第一車間 | 第二車間 | 第三車間 | |
女工 | 173 | 100 | y |
男工 | 177 | x | z |
已知在全廠工人中隨機抽取1名，抽到第二車間男工的可能性是0. 15．
(1)求x的值；
(2)現用分層抽樣的方法在全廠抽取50名工人，問應在第三車間抽取多少名？
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