Question

【題目】已知函數f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．

（1）討論函數h（x）=的單調性；

（2）如果對任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2） .

【解析】

試題分析：（1）的定義域為，，當時，，當時，可得，判斷在上的符號情況，即得其單調區間；（2）如果對任意的，都有成立，則，可先求出，得到再上恒成立，構造函數，求出的最大值，即得求實數的取值范圍．

試題解析：（1）h（x）==+lnx，h′（x）=，

①a≤0，h′（x）≥0，函數h（x）在（0，+∞）上單調遞增

②a＞0時，h'（x）＞0，則x∈（，+∞），函數h（x）的單調遞增區間為（，+∞），

h'（x）＜0，則x∈（0，），函數h（x）的單調遞減區間為（0，）．

（2）g（x）=x3﹣x2﹣3，g′（x）=3x（x﹣），

由上表可知，g（x）在x=2處取得最大值，即g（x）max=g（2）=1

所以當x∈[，2]時，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等價于a≥x﹣x2lnx恒成立，

記u（x）=x﹣x2lnx，所以a≥u（x）max，u′（x）=1﹣x﹣2xlnx，可知u′（1）=0，

當x∈（，1）時，1﹣x＞0，2xlnx＜0，則u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（，2）上單調遞增；

當x∈（1，2）時，1﹣x＜0，2xlnx＞0，則u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上單調遞減；

故當x=1時，函數u（x）在區間[，2]，上取得最大值u（1）=1，

所以a≥1，故實數a的取值范圍是[1，+∞）．