Question

【題目】設雙曲線的左頂點為D，且以點D為圓心的圓與雙曲線C分別相交于點A、B，如圖所示.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）求的最小值，并求出此時圓D的方程；

（3）設點P為雙曲線C上異于點A、B的任意一點，且直線PA、PB分別與x軸相交于點M、N，求證：為定值（其中O為坐標原點）.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）4.

【解析】

（1）由圓心為，為雙曲線的左頂點，解得，得到雙曲線C的方程.

（2）設，利用數量積運算得到，再利用二次函數的性質求解.

（3）設，得到直線PA的方程為：，令，得，同理，然后代入求解.

（1）因為圓的圓心為，且為左頂點，

所以，

所以雙曲線C的方程.

（2）設，

因為點A在雙曲線上，

所以，

所以，

所以當，取得最小值，

此時，又點A在圓上，所以，

所以圓D的方程.

（3）設，則直線PA的方程為：，

令，得，同理，

又點A，P在雙曲線上，

所以，

所以，

所以為定值.