Question

【題目】現有正方形ABCD和一個以O為直角頂點的三角板，移動三角板，使三角板兩直角邊所在直線分別與直線BC、CD交于點M、N．

（1）如圖1，若點O與點A重合，則OM與ON的數量關系是
（2）如圖2，若點O在正方形的中心（即兩對角線交點），則（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由；
（3）如圖3，若點O在正方形的內部（含邊界），當OM=ON時，請探究點O在移動過程中可形成什么圖形？
（4）如圖4，是點O在正方形外部的一種情況．當OM=ON時，請你就“點O的位置在各種情況下（含外部）移動所形成的圖形”提出一個正確的結論．（不必說明）

Answer 1

【答案】
（1）OM=ON
（2）

解：仍成立．

證明：如圖2，

連接AC、BD，則

由正方形ABCD可得，∠BOC=90°，BO=CO，∠OBM=∠OCN=45°

∵∠MON=90°

∴∠BOM=∠CON

在△BOM和△CON中

∴△BOM≌△CON（ASA）

∴OM=ON.

（3）

解：如圖3，

過點O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分別為E、F，則∠OEM=∠OFN=90°

又∵∠C=90°

∴∠EOF=90°=∠MON

∴∠MOE=∠NOF

在△MOE和△NOF中

∴△MOE≌△NOF（AAS）

∴OE=OF

又∵OE⊥BC，OF⊥CD

∴點O在∠C的平分線上

∴O在移動過程中可形成線段AC．

（4）

解：O在移動過程中可形成直線AC．

【解析】（1）解：若點O與點A重合，則OM與ON的數量關系是：OM=ON；

（1）根據△OBM與△ODN全等，可以得出OM與ON相等的數量關系；
　　　　（2）連接AC、BD，則通過判定△BOM≌△CON，可以得到OM=ON；
　　　　（3）過點O作OE⊥BC，作OF⊥CD，可以通過判定△MOE≌△NOF，得出OE=OF，進而發現點O在∠C的平分線上；
　　　　（4）可以運用（3）中作輔助線的方法，判定三角形全等并得出結論．本題主要考查了四邊形中的正方形，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形．解題時需要運用全等三角形的判定與性質，以及角平分線的判定定理．