Question

【題目】選修4-5：不等式選講

（Ⅰ）已知，證明： ；

（Ⅱ）若對任意實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用條件運用基本不等式，將原式化為，再應用條件，即可得結果；（Ⅱ）“對任意實數，不等式恒成立”等價于“”，只需求出的最小值即可得結果.

試題解析：（Ⅰ）證明：因為，

所以.

所以要證明，

即證明.

因為

，

所以.

因為，所以.

所以.

（Ⅱ）設，

則“對任意實數，不等式恒成立”等價于“”.

當時，

此時，

要使恒成立，必須，解得.

當時， 不可能恒成立.

當時，

此時，

要使恒成立，必須，解得.

綜上可知，實數的取范為.

【方法點晴】本題主要考查絕對值不等式的解法以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數形結合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數.本題是利用方法 ③ 求得的范圍.