Question

【題目】已知雙曲線的焦點是橢圓： （）的頂點，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設動點， 在橢圓上，且，記直線在軸上的截距為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（I）雙曲線的焦點為，離心率為，對于橢圓來說， ，由此求得和橢圓的方程.（II）設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓的方程，利用判別式求得的一個不等關系，利用韋達定理和弦長公式，求得一個等量關系，利用表示，進而用基本不等式求得的最大值.

試題解析：

（Ⅰ）雙曲線的焦點坐標為，離心率為.

因為雙曲線的焦點是橢圓： （）的頂點，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數，所以，且，解得.

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）因為，所以直線的斜率存在.

因為直線在軸上的截距為，所以可設直線的方程為.

代入橢圓方程得 .

因為 ，

所以.

設， ，

根據根與系數的關系得， .

則 .

因為，即 .

整理得.

令，則.

所以 .

等號成立的條件是，此時， 滿足，符合題意.

故的最大值為.