Question

【題目】函數．

（1）討論的單調性；

（2）當在上單調遞增時，證明：對任意且．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析

【解析】試題分析：（1）先求函數導數，確定導函數零點，根據兩個零點大小關系分類討論導函數符號變化規律，進而確定函數單調區間，（2）利用導數證明不等式，關鍵是構造恰當的目標函數，因此先利用分析法探求目標函數：第一步，根據（1）得，第二步，同除以，將二元問題轉化為一元（關于），第三步，利用導數研究函數單調性（單調遞增），第四步，根據單調性，得不等關系，根據等價性得原不等式成立.

試題分析：解：（1），

，

令得.

當，即時，，故在上單調遞增，

當，即時，令，得，所以在上單調遞減；

同理，可得在上單調遞增.

當，即時，令，得，所以在上單調遞減；

同理，可得在上單調遞增.

綜上可知，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，

當時，在上單調遞增，

當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）由（1）知，當在上單調遞增時，，故.

不妨設，則要證，

只需證，

即證，

只需證，

令，

則，不等式可化為.

下面證明：對任意，

令，即，

則，

令，則，所以在上單調遞增，

又，所以當時，即，

故在上單調遞增,

又，

所以當時，，

故對任意，，

所以對任意且，.