Question

（2012•惠州模擬）如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中點．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）取CE中點P，連接FP、BP，根據中位線定理可知FP∥DE，且FP=

1

2

DE，而AB∥DE，且AB=

1

2

DE則ABPF為平行四邊形，則AF∥BP，AF?平面BCE，BP?平面BCE，滿足線面平行的判定定理，從而證得結論；
（2）根據AB⊥平面ACD，DE∥AB，則DE⊥平面ACD，又AF?平面ACD，根據線面垂直的性質可知DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，滿足線面垂直的判定定理，證得AF⊥平面CDE，又BP∥AF，則BP⊥平面CDE，BP?平面BCE，根據面面垂直的判定定理可證得結論；
（3）由（2），以F為坐標原點，FA，FD，FP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系F-xyz．設AC=2，根據線面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）為平面ACD的法向量，設平面BCE與平面ACD所成銳二面角為α，根據cosα=

|m•n|

|m|•|n|

可求出所求．

解答：（1）證：取CE中點P，連接FP、BP，
∵F為CD的中點，∴FP∥DE，且FP=

1

2

DE．
又AB∥DE，且AB=

1

2

DE．∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF為平行四邊形，∴AF∥BP．…（2分）
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE． …（4分）
（2）∵△ACD為正三角形，∴AF⊥CD．
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，
∴DE⊥平面ACD，又AF?平面ACD，
∴DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE． …（6分）
又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．又∵BP?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE． …（8分）
（3）由（2），以F為坐標原點，FA，FD，FP所在的直線分別為x，y，z軸（如圖），
建立空間直角坐標系F-xyz．設AC=2，
則C（0，-1，0），B(-

3

，0，1)，E(0，1，2)．…（9分）
設n=（x，y，z）為平面BCE的法向量，
則

n• CB =0，n• CE =0， - 3 x+y+z=0 2y+2z=0

令z=1，則n=（0，-1，1）．…（10分）
顯然，m=（0，0，1）為平面ACD的法向量．
設平面BCE與平面ACD所成銳二面角為α，則cosα=

|m•n|

|m|•|n|

=

1

2

=

2

2

．
α=45°，即平面BCE與平面ACD所成銳二面角為45°．…（12分）

點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及面面垂直的判定和利用空間向量定理二面角的平面角，同時考查了空間想象能力和推理論證的能力，屬于中檔題．