Question

（2012•惠州模擬）已知橢圓C：  

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的離心率為

6

3

，且經(jīng)過點(

3

2

，

1

2

)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點P（0，2）的直線交橢圓C于A，B兩點，求△AOB（O為原點）面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由 e2=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

2

3

，得 

b

a

=

1

3

．再由橢圓C經(jīng)過點(

3

2

，

1

2

)，能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線方程為y=kx+2．將直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，消去y得（1+3k²）x²+12kx+9=0．再由根的判別式和韋達定理能夠求出三角形面積的最大值．

解答：（本小題滿分14分）
（Ⅰ）解：由 e2=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

2

3

，
得 

b

a

=

1

3

．   ①…（2分）
由橢圓C經(jīng)過點(

3

2

，

1

2

)，得

9

4a2

+

1

4b2

=1．    ②…（3分）
聯(lián)立①②，解得 b=1，a=

3

．  …（4分）   
所以橢圓C的方程是 

x2

3

+y2=1．  …（5分）
（Ⅱ）解：易知直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+2．
將直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，
消去y得 （1+3k²）x²+12kx+9=0．…（7分）
令△=144k²-36（1+3k²）＞0，得k²＞1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

12k

1+3k2

，x1x2=

9

1+3k2

． …（9分）
所以 S△AOB=|S△POB-S△POA|=

1

2

×2×|x1-x2|=|x1-x2|．     …（10分）
因為 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-

12k

1+3k2

)2-

36

1+3k2

=

36(k2-1)

(1+3k2)2

，
設(shè) k²-1=t（t＞0），
則 (x1-x2)2=

36t

(3t+4)2

=

36

9t+ 16 t +24

≤

36

2 9t× 16 t +24

=

3

4

．   …（13分）
當且僅當9t=

16

t

，即t=

4

3

時等號成立，
此時△AOB面積取得最大值

3

2

．…（14分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形最大面積的計算．考查運算推理能力和計算求解能力，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．