Question

【題目】如圖，已知拋物線和⊙：，過拋物線C上一點（）做兩條直線與⊙相切于兩點，分別交拋物線于兩點.

（1）當的角平分線垂直軸時，求直線的斜率；

（2）若直線在軸上的截距為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）﹣；（2）﹣11

【解析】

（1）根據當的角平分線垂直軸時，可得點的坐標，因而，設，由兩點間斜率公式及拋物線方程代入化簡可得，從而可求直線的斜率；

（2）設，由點斜式求出直線、的方程，根據直線性質從而可得直線的方程，令，可得，再利用導函數，即可求得的最小值.

（1）拋物線和⊙：，則，

∵當的角平分線垂直軸時，可知點，

且滿足，設，

∴由兩點間斜率公式可得，

∴代入拋物線方程可知，即，

∴.

∴.

（2）設，，拋物線和⊙：，則，

∴由圓切線性質可知，

∴直線的方程為，

同理可得直線的方程為，

∴，，

∴直線的方程為，

令，可得，（），

∵，

∴關于的函數在上單調遞增，

∴當時，.