Question

【題目】已知函數．

（1）若函數的最小值為2，求的值；

（2）當時，證明：．

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析

【解析】

（1）由題可知，的定義城為，且，分類討論參數，當和當，利用導數研究函數的單調性和最值，得出當時，，取得最小值，結合已知的最小值為2，即可求出的值；

（2）當，結合第（1）可知，將證明轉化為只要證，構造新函數，通過導數研究函數的單調性，進而得出當時，，即，即可證明出．

解：（1）的定義城為，

且，

函數的最小值為2，

若，則，于是在上單調遞增，

故無最小值，不合題意，

若，則當時，；當時，，

故在上單調遞減，在上單調遞增，

于是當時，，取得最小值，

由已知得，解得．

綜上可知．

（2）∵由（1）得，當時，取得最小值，

所以當時，取得最小值，即，

則，即：，

由題知，當時，證明：，

∴要證，只要證，

∴令，則，

∴當時，，

所以在上單調遞增．

∴當時，，即，

∴當時，不等式成立．