Question

已知函數y=

3

sinωx•cosωx+cos²ωx（ω＞0）的周期為

π

2

．
（1）求ω的值；
（2）當0≤x≤

π

4

時，求函數的最大值和最小值以及相應的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，通過周期求出ω的值；
（2）根據x的范圍，確定4x+

π

6

，求出y的范圍，即可得到函數的最值，以及x 的值．

解答：解：（1）函數f（x）=

3

sinωx•cosωx+cos²ωx=

3

2

sin2ωx +

1

2

cos2ωx -

1

2

=sin（ωx+

π

6

 ）-

1

2

由f（x）的周期 T=

2π

ω

=

π

2

，
得ω=2．
（2）由（1）可知f（x）=sin（4x+

π

6

 ）-

1

2

∵0≤x≤

π

4

，∴

π

6

≤4x+

π

6

≤

7π

6

，∴0≤sin（4x+

π

6

 ）-

1

2

≤

3

2

，
當x=

π

4

時，y有最小值為0，當x=

π

12

時函數有最大值為

3

2

．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡二倍角公式的應用，兩角和的正弦函數的應用，三角函數在閉區間最值的求法，考查計算能力．常考題型．