Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ex﹣有兩個極值點．

（1）求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若函數(shù)f（x）的兩個極值點分別為x1，x2，求證：x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】（1）（e，+∞）；（2）見解析

【解析】

（1）f′（x）＝ex﹣ax．函數(shù)f（x）＝ex有兩個極值點f′（x）＝ex﹣ax＝0有兩個實數(shù)根．x＝0時不滿足上述方程，方程化為：a，令g（x），（x≠0）．利用導數(shù)已經(jīng)其單調性即可得出．

（2）由（1）可知：a＞e時，函數(shù)f（x）有兩個極值點分別為，x2，不妨設＜，+＞2＞2﹣＞1，由，因此即證明：．構造函數(shù)h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．利用導數(shù)已經(jīng)其單調性即可得出．

（1）解：f′（x）＝ex﹣ax．

∵函數(shù)f（x）＝ex有兩個極值點．

∴f′（x）＝ex﹣ax＝0有兩個實數(shù)根．

x＝0時不滿足上述方程，

方程化為：a，

令g（x），（x≠0）．

g′（x），

可得：x＜0時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調遞減；0＜x＜1時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調遞減；x＞1時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調遞增．

g（1）=e,得到函數(shù)草圖如圖所示.

a＞e時，方程f′（x）＝ex﹣ax＝0有兩個實數(shù)根．

∴實數(shù)a的取值范圍是（e，+∞）．

（2）證明：由（1）可知：a＞e時，函數(shù)f（x）有兩個極值點分別為x1，x2，不妨設x1＜x2．

證明：+＞2＞2﹣＞1，

由，因此即證明：．

構造函數(shù)h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．

h′（x）（x﹣1），

令函數(shù)u（x），（0＜x＜2）．

u′（x）．

可得函數(shù)u（x）在（0，2）內單調遞減，于是函數(shù)v（x）在（0，1）內單調遞減．

v（x）≥v（1）＝0．∴h′（x）（x﹣1）,h（x）在（0，1）內單調遞減．

∴h（x）＞h（1）＝0,

∴．

因此+＞2成立．