Question

【題目】已知，且，圓，點，是圓上的動點，線段的垂直平分線交直線于點，點的軌跡為曲線.

（1）討論曲線的形狀，并求其方程；

（2）若，且面積的最大值為，直線過點且不垂直于坐標軸，與曲線交于，點關于軸的對稱點為．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）當時，曲線是橢圓,其方程為；當時曲線是雙曲線,其方程為；（2）證明詳見解析，定點坐標.

【解析】

（1）分點在圓內和點在圓外兩種情況討論，兩者都可以利用圓錐曲線的定義得到相應的曲線方程.

（2）設，，則直線與軸交點的橫坐標為，聯立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達定理化簡后可得為定值，從而可證直線過定點.

當時，點在圓內，，

故曲線是以為焦點，以為長軸長的橢圓，其方程為.

當時，點在圓外，，

曲線是以為焦點，以為實軸長的雙曲線，其方程為.

綜上，當時，曲線是橢圓,其方程為；當時曲線是雙曲線,其方程為；

（2）由面積有最大值為知，曲線只可能是橢圓，

由橢圓幾何性質知，當位于短軸端點時其面積有最大值，因，

故其短半軸長為，又因焦距為2，

故曲線的方程為.

設，，則，

聯立，消去得：，

，

直線，

由橢圓的對稱性知，若直線過定點，則該定點必在軸上，

故令得：，

所以直線過定點.