Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，討論函數的單調性；

（Ⅱ）當，時，，其中，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）依題意,再對分類討論求出函數的單調性；

（Ⅱ）由題得，分析得到只需證時，成立即可. 令，證明即得證.

（Ⅰ）依題意，，.

當時，.

所以當時，，當時，.

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.

當時，令，解得或.

若，則，所以函數在上單調遞增；

若，則，

所以當時，，當時，，當時，，所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減；

若，則，

所以當時，，當時，，當時，，所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減.

（Ⅱ）依題意，得，所以.

要證，即證，即證，即證,

即證，所以只需證時，成立即可.

令，則.

令，則.

所以在上單調遞增.

所以，即，所以.

所以在上單調遞增.所以，

所以，即.