Question

【題目】已知橢圓：右焦點為，右頂點為，點在橢圓上，且軸，直線交軸于點，若；

（1）求橢圓的離心率；

（2）設經過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且. 求橢圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）；

【解析】

（1）由題意可得，即，再由離心率公式可得所求值；

（2）求得，，可得橢圓方程為，設直線的方程為，聯立橢圓方程求得的坐標，以及直線的斜率，由兩條直線平行的條件和直線與圓相切的條件，解方程可得，即可得到所求橢圓方程．

（1），所以即

可得；

（2），，

即，，

可得橢圓方程為，

設直線的方程為，

代入橢圓方程可得，

解得或，

代入直線方程可得或（舍去），

可得，

圓心在直線上，且，可設，

可得，解得，

即有，可得圓的半徑為2，

由直線和圓相切的條件為，

可得，解得，

可得，，

可得橢圓方程為.