Question

【題目】有一名高二學生盼望2020年進入某名牌大學學習，假設該名牌大學有以下條件之一均可錄取：①2020年2月通過考試進入國家數學奧賽集訓隊（集訓隊從2019年10月省數學競賽一等獎中選拔）：②2020年3月自主招生考試通過并且達到2020年6月高考重點分數線，③2020年6月高考達到該校錄取分數線（該校錄取分數線高于重點線），該學生具備參加省數學競賽、自主招生和高考的資格且估計自己通過各種考試的概率如下表

省數學競賽一等獎	自主招生通過	高考達重點線	高考達該校分數線
0.5	0.6	0.9	0.7

若該學生數學競賽獲省一等獎，則該學生估計進入國家集訓隊的概率是0.2.若進入國家集訓隊，則提前錄取，若未被錄取，則再按②、③順序依次錄取：前面已經被錄取后，不得參加后面的考試或錄取.（注：自主招生考試通過且高考達重點線才能錄取）

（Ⅰ）求該學生參加自主招生考試的概率；

（Ⅱ）求該學生參加考試的次數的分布列及數學期望；

（Ⅲ）求該學生被該校錄取的概率.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）0.9.（Ⅱ）分布列見解析；數學期望3.3；（Ⅲ）0.838

【解析】

（Ⅰ）設該生參加省數學競賽獲一等獎、參加國家集訓隊時間分別為，則，然后利用互斥事件的概率公式進行求解；
（Ⅱ）的可能取值為2，3，4，然后分別求出相應的概率，列出分布列，根據數學期望公式進行求解即可；
（Ⅲ）設自主招生通過并且高考達重點線錄取、自主招生未通過且高考達該校線錄取的事件分別為C、D，該學生被該校錄取的事件分為三種事件，AB、C、D，分別求出對應的概率，最后相加即可．

解：（Ⅰ）設該學生參加省數學競賽獲一等獎、參加國家集訓隊的事件分別為，，

則，，.

即該學生參加自主招生考試的概率為0.9.

（Ⅱ）該該學生參加考試的次數的可能取值為2，3，4

；

；

.

所以的分布列為

	2	3	4
	0.1	0.5	0.4

.

（Ⅲ）設該學生自主招生通過并且高考達到重點分數線錄取，自主招生未通過但高考達到該校錄取分數線錄取的事件分別為，.

，，，

所以該學生被該校錄取的概率為.