Question

【題目】如圖，一輛汽車從A市出發沿海岸一條筆直公路以的速度向東勻速行駛，汽車開動時，在A市南偏東方向距A市500km且與海岸距離為300km的海上B處有一艘快艇與汽車同時出發，要把一份文件交給這輛汽車的司機．

（1）快艇至少以多大的速度行駛才能把文件送到司機手中？

（2）求快艇以最小速度行駛時的行駛方向與所成角的大小．

（3）若快艇每小時最快行駛，快艇應如何行駛才能盡快把文件交到司機手中？最快需多長時間？

Answer 1

【答案】（1）快艇至少以的速度行駛才能把文件送到司機手中；（2）快艇以最小速度行駛時的行駛方向與所成的角為90°；（3）快艇應垂直于海岸向北行駛才能盡快把文件交到司機手中，最快需要4h．

【解析】

(1)畫圖分析,設后與汽車在C處相遇,再根據三角形中的關系分別表示快艇與汽車所經過的路程,再化簡求得快艇速度與時間之間的函數關系,再利用二次不等式的最值分析即可.

(2)根據(1)中的結論分析可得汽車與快艇路程構成的三角形中的邊的關系,進而求得時間即可.

(3)設快艇以的速度沿行駛,后與汽車在E處相遇,同(1)中的方法求得三角形各邊的關系分析即可.

（1）如圖所示,設快艇以的速度從B處出發,沿方向行駛,后與汽車在C處相遇.

在中,,,,為邊上的高,.

設,則,.

由余弦定理,得,

即,

整理得

.

當,即時,,∴.

即快艇至少以的速度行駛才能把文件送到司機手中.

（2）由（1）可知,當時,在中,

,,,由余弦定理,得,∴.

故快艇以最小速度行駛時的行駛方向與所成的角為90°.

（3）如圖所示,設快艇以的速度沿行駛,后與汽車在E處相遇.

在中,,,,.

由余弦定理,得,

解得或（舍去）,

∵當時,,,,∴快艇應垂直于海岸向北行駛才能盡快把文件交到司機手中,最快需要4h.